Abrir la calculadora Módulo, suma, resta, producto escalar, producto vectorial y ángulo entre dos vectores.
Un vector tiene módulo, dirección y sentido: sirve para representar desplazamientos, velocidades, fuerzas o campos. Con dos operaciones, el producto escalar y el producto vectorial , se calculan ángulos, proyecciones, áreas y perpendiculares.
Cómo se usa la calculadora
Escribe las componentes x x x y y y z z z a ⃗ \vec a a b ⃗ \vec b b z = 0 z = 0 z = 0
Obtienes a ⃗ ⋅ b ⃗ \vec a \cdot \vec b a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ |\vec a| ∣ a ∣ ∣ b ⃗ ∣ |\vec b| ∣ b ∣ a ⃗ + b ⃗ \vec a + \vec b a + b a ⃗ − b ⃗ \vec a - \vec b a − b a ⃗ × b ⃗ \vec a \times \vec b a × b
Fundamentos teóricos Módulo ∣ a ⃗ ∣ = a x 2 + a y 2 + a z 2 |\vec a| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} ∣ a ∣ = a x 2 + a y 2 + a z 2 Es la longitud del vector (Pitágoras en 3D).
Suma y resta Componente a componente. Geométricamente, la suma es la diagonal del paralelogramo (o colocar uno a continuación del otro).
Producto escalar a ⃗ ⋅ b ⃗ = a x b x + a y b y + a z b z = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos θ \vec a \cdot \vec b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec a|\,|\vec b|\cos\theta a ⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ
El resultado es un número .
Si vale 0 , los vectores son perpendiculares .
Sirve para calcular el ángulo: cos θ = a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \cos\theta = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|} cos θ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ a ⋅ b
En física: el trabajo W = F ⃗ ⋅ d ⃗ W = \vec F \cdot \vec d W = F ⋅ d
Producto vectorial (solo en 3D) a ⃗ × b ⃗ = ∣ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ∣ = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) \vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_y b_z - a_z b_y,\ a_z b_x - a_x b_z,\ a_x b_y - a_y b_x) a × b = i a x b x j a y b y k a z b z = ( a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x )
El resultado es un vector perpendicular a los dos, con el sentido de la regla de la mano derecha.
Su módulo, ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ sin θ |\vec a|\,|\vec b|\sin\theta ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin θ área del paralelogramo que forman.
No es conmutativo: b ⃗ × a ⃗ = − a ⃗ × b ⃗ \vec b \times \vec a = -\vec a \times \vec b b × a = − a × b
En física: el momento de una fuerza, la fuerza de Lorentz.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 · Producto escalar y ángulo
a ⃗ = ( 3 , 4 , 0 ) \vec a = (3, 4, 0) a = ( 3 , 4 , 0 ) b ⃗ = ( 1 , 2 , 2 ) \vec b = (1, 2, 2) b = ( 1 , 2 , 2 ) a ⃗ ⋅ b ⃗ = 3 + 8 + 0 = 11 \vec a \cdot \vec b = 3 + 8 + 0 = 11 a ⋅ b = 3 + 8 + 0 = 11 ∣ a ⃗ ∣ = 5 |\vec a| = 5 ∣ a ∣ = 5 ∣ b ⃗ ∣ = 3 |\vec b| = 3 ∣ b ∣ = 3 cos θ = 11 / 15 ⇒ θ = 42,8 ° \cos\theta = 11/15 \Rightarrow \theta = 42{,}8° cos θ = 11/15 ⇒ θ = 42 , 8°
Ejemplo 2 · Producto vectorial y área
Con los mismos vectores: a ⃗ × b ⃗ = ( 4 ⋅ 2 − 0 ⋅ 2 , 0 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 , 3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 ) = ( 8 , − 6 , 2 ) \vec a \times \vec b = (4 \cdot 2 - 0 \cdot 2,\ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 2,\ 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1) = (8, -6, 2) a × b = ( 4 ⋅ 2 − 0 ⋅ 2 , 0 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 , 3 ⋅ 2 − 4 ⋅ 1 ) = ( 8 , − 6 , 2 ) Área del paralelogramo: 64 + 36 + 4 = 10,2 \sqrt{64 + 36 + 4} = 10{,}2 64 + 36 + 4 = 10 , 2
Ejemplo 3 · ¿Son perpendiculares?
( 2 , − 1 , 3 ) ⋅ ( 1 , 5 , 1 ) = 2 − 5 + 3 = 0 (2, -1, 3) \cdot (1, 5, 1) = 2 - 5 + 3 = 0 ( 2 , − 1 , 3 ) ⋅ ( 1 , 5 , 1 ) = 2 − 5 + 3 = 0 Errores frecuentes
Pensar que el producto escalar da un vector. Da un número.Equivocarse de signo en la segunda componente del producto vectorial.Cambiar el orden en el producto vectorial: cambia el sentido del resultado.
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Última modificación el 6 de octubre de 2026
