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Abrir la calculadora

Operaciones, determinante, inversa, rango y Gauss, con cada operación entre filas y fracciones exactas.
Las matrices organizan números en filas y columnas y permiten resolver sistemas de ecuaciones, describir transformaciones geométricas y manejar grandes cantidades de datos. Esta calculadora hace las operaciones de clase mostrando cada paso y con fracciones exactas, para que puedas comprobar tus cuentas.

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Lo que vas a aprender

  • Sumar, multiplicar y trasponer matrices.
  • Calcular determinantes de 2×2, 3×3 (Sarrus) y mayores (Gauss).
  • Calcular la inversa con Gauss-Jordan.
  • Calcular el rango y escalonar una matriz.

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Cómo se usa la calculadora

  1. Elige la operación: A + B, A − B, A · B, k · A, Aᵗ, |A|, A⁻¹, Rango o Gauss.
  2. Ajusta el número de filas y columnas con − y +, y escribe los elementos. Admite fracciones (1/2) y decimales con coma o punto.
  3. Obtienes el resultado y el paso a paso con cada operación entre filas.

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Fundamentos teóricos

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Operaciones básicas

  • Suma y resta: elemento a elemento. Solo entre matrices del mismo tamaño.
  • Producto por un número: se multiplica cada elemento.
  • Producto de matrices: el elemento (i,j)(i, j) de ABAB es la fila ii de AA por la columna jj de BB. Solo si las columnas de A coinciden con las filas de B. En general, AB≠BAAB \ne BA.
  • Traspuesta AtA^t: se cambian filas por columnas.

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Determinantes

∣abcd∣=ad−bc\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc Regla de Sarrus (3×3): se suman los productos de la diagonal principal y sus dos “triángulos” paralelos, y se restan los de la otra diagonal y los suyos. Para matrices mayores, se triangula con Gauss: el determinante es el producto de la diagonal (cambiando el signo por cada intercambio de filas).

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Propiedades útiles del determinante

  • Si dos filas son iguales o proporcionales, ∣A∣=0|A| = 0.
  • Intercambiar dos filas cambia el signo.
  • Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia.
  • ∣AB∣=∣A∣ ∣B∣|AB| = |A|\,|B|.

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Matriz inversa

A−1A^{-1} cumple A A−1=IA\,A^{-1} = I. Existe solo si ∣A∣≠0|A| \ne 0. Gauss-Jordan: se escribe (A∣I)(A \mid I) y se hacen operaciones entre filas hasta convertir la parte izquierda en II. Lo que queda a la derecha es A−1A^{-1}. Para 2×2: A−1=1ad−bc(d−b−ca)A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

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Rango

El número de filas (o columnas) linealmente independientes. Se calcula escalonando con Gauss y contando las filas que no quedan a cero. Es la clave del teorema de Rouché-Frobenius para discutir sistemas.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Determinante por Sarrus

A=(2130−14120)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}∣A∣=(0+4+0)−(−3+16+0)=4−13=−9|A| = (0 + 4 + 0) - (-3 + 16 + 0) = 4 - 13 = -9.
A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}: ∣A∣=−2|A| = -2.A−1=1−2(4−2−31)=(−213/2−1/2)A^{-1} = \dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}.
x+y+z=6x + y + z = 6; 2x−y+z=32x - y + z = 3; x+2y−z=2x + 2y - z = 2.F2−2F1F_2 - 2F_1: −3y−z=−9-3y - z = -9. F3−F1F_3 - F_1: y−2z=−4y - 2z = -4. Despejando: z=3z = 3, y=2y = 2, x=1x = 1. El determinante del sistema es 7 ≠ 0: compatible determinado.

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Errores frecuentes

  • Multiplicar matrices elemento a elemento.
  • Suponer que AB=BAAB = BA.
  • Olvidar el signo al intercambiar filas en un determinante.
  • Intentar invertir una matriz con determinante 0.

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Última modificación el 6 de octubre de 2026