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Abrir el simulador

Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases.
Los registros de pieles de la Compañía de la Bahía de Hudson muestran algo curioso: las capturas de linces y de liebres subían y bajaban en ciclos de unos diez años, con los linces siempre un poco por detrás. Alfred Lotka y Vito Volterra explicaron este tipo de ciclos, por separado, en los años 1920 con un sistema de dos ecuaciones diferenciales. Es el ejemplo clásico de cómo dos poblaciones que dependen una de otra pueden oscilar sin que nadie las empuje.

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Lo que vas a aprender

  • Las ecuaciones de Lotka-Volterra y el significado de cada término.
  • Por qué las poblaciones oscilan y los depredadores van con retraso.
  • Calcular el punto de equilibrio.
  • Leer el plano de fases.
  • El efecto de la capacidad de carga (crecimiento logístico).

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Cómo se usa el simulador

  • La gráfica Poblaciones en el tiempo muestra las dos curvas.
  • El plano de fases dibuja la trayectoria (presas, depredadores), con el equilibrio como un círculo vacío.
  • El panel da las poblaciones actuales, el equilibrio y el periodo del ciclo.

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Fundamentos teóricos

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Las ecuaciones

x′=a x−b x yy′=d x y−c yx' = a\,x - b\,x\,y \qquad y' = d\,x\,y - c\,y
  • xx: presas. Crecen a ritmo a xa\,x si no hay depredadores.
  • yy: depredadores. Mueren a ritmo c yc\,y si no hay presas.
  • x yx\,y: número de encuentros. Cada uno elimina presas (−b xy-b\,xy) y alimenta depredadores (+d xy+d\,xy).

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El ciclo

  1. Muchas presas → los depredadores tienen comida y aumentan.
  2. Muchos depredadores → se comen las presas, que disminuyen.
  3. Pocas presas → los depredadores pasan hambre y disminuyen.
  4. Pocos depredadores → las presas se recuperan. Vuelta a empezar.
El máximo de depredadores llega después del de presas: primero tiene que haber comida.

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Equilibrio

Las dos derivadas se anulan (con x,y>0x, y > 0) en: x∗=cdy∗=abx^* = \frac{c}{d} \qquad y^* = \frac{a}{b} Paradoja: si mejora la natalidad de las presas (aa), en el equilibrio no hay más presas, sino más depredadores.

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Plano de fases

Dibujando yy frente a xx, el estado del sistema recorre una curva cerrada alrededor del equilibrio: el ciclo se repite siempre igual. Para oscilaciones pequeñas, el periodo es aproximadamente 2π/ac2\pi/\sqrt{ac}.

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Capacidad de carga

En la realidad, las presas no pueden crecer sin límite. Con crecimiento logístico: x′=a x(1−xK)−b x yx' = a\,x\left(1 - \frac{x}{K}\right) - b\,x\,y Ahora las oscilaciones se amortiguan: la trayectoria en el plano de fases es una espiral que se cierra hacia el equilibrio.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Equilibrio

Con a=1a = 1, b=0,1b = 0{,}1, c=1,5c = 1{,}5, d=0,075d = 0{,}075:x∗=1,5/0,075=20x^* = 1{,}5/0{,}075 = 20 presas; y∗=1/0,1=10y^* = 1/0{,}1 = 10 depredadores.
Para oscilaciones pequeñas: T≈2π/1⋅1,5=5,13T \approx 2\pi/\sqrt{1 \cdot 1{,}5} = 5{,}13. Con oscilaciones grandes, como las del simulador, el periodo es algo mayor (5,48).
Si aa pasa de 1 a 2: x∗x^* sigue siendo 20, pero y∗y^* pasa de 10 a 20.

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Experimenta con el simulador

1

El retraso

Observa la gráfica temporal. ¿Cuánto van retrasados los máximos de depredadores?
2

Empezar en el equilibrio

Pon 20 presas y 10 depredadores al inicio. ¿Qué pasa?
3

Ciclos más grandes

Empieza lejos del equilibrio. ¿Cómo cambia la curva del plano de fases?
4

Capacidad de carga

Pon K = 60. ¿Qué forma tiene ahora la trayectoria en el plano de fases?

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Errores frecuentes

  • Pensar que el equilibrio depende de las poblaciones iniciales. Solo depende de aa, bb, cc y dd.
  • Confundir los papeles de bb y dd.
  • Esperar que las poblaciones se estabilicen en el modelo sin capacidad de carga: oscilan para siempre.

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Herramientas relacionadas

Modelo de una epidemia

Otro modelo con encuentros entre grupos.

Ecuaciones diferenciales

Métodos numéricos para resolverlo.

Péndulos acoplados

Otro sistema que oscila.
Última modificación el 6 de octubre de 2026