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Abrir el simulador

Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos.
¿Por qué una epidemia crece primero muy deprisa y luego se apaga sola? ¿Qué porcentaje de la población hay que vacunar para protegerla? ¿Qué significa “aplanar la curva”? El modelo SIR, propuesto en 1927 por Kermack y McKendrick, responde con tres ecuaciones y un solo número clave: R₀.

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Lo que vas a aprender

  • Los tres grupos del modelo SIR y sus ecuaciones.
  • Qué son R0R_0 y RtR_t.
  • Por qué hay un pico y cuándo llega.
  • Qué es la inmunidad de grupo y cómo calcularla.
  • El efecto de la vacunación y la reducción de contactos.

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Cómo se usa el simulador

  • Arriba, la población como puntos de colores (cada uno es un 0,25 %).
  • La gráfica muestra la evolución de S, I y R, con los infectados ampliados abajo y el umbral de inmunidad de grupo.
  • El panel da el pico de infectados, el día del pico, el total de contagiados, la inmunidad de grupo, RtR_t y los infectados de cada día.

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Fundamentos teóricos

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Los tres grupos

  • S (susceptibles): pueden contagiarse.
  • I (infectados): pueden contagiar.
  • R (recuperados): ya no se contagian ni contagian.
Con S+I+R=1S + I + R = 1 (fracciones de la población): S′=−βSII′=βSI−γIR′=γIS' = -\beta S I \qquad I' = \beta S I - \gamma I \qquad R' = \gamma I β\beta mide los contagios por contacto y γ=1/D\gamma = 1/D, con DD la duración del contagio.

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R₀ y Rₜ

R0=βγR_0 = \frac{\beta}{\gamma} Es el número medio de personas que contagia un infectado al principio, cuando todos son susceptibles. Con el tiempo, el número efectivo es Rt=R0 SR_t = R_0\,S.
  • Rt>1R_t > 1: la epidemia crece.
  • Rt<1R_t < 1: la epidemia decrece.

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El pico

Los infectados son máximos cuando I′=0I' = 0, es decir, cuando S=1/R0S = 1/R_0. A partir de ahí cada infectado contagia a menos de una persona.

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Inmunidad de grupo

Si una fracción vv es inmune desde el principio, Rt=R0(1−v)R_t = R_0(1 - v). Para que la epidemia no crezca: v>1−1R0v > 1 - \frac{1}{R_0}

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Aplanar la curva

Reducir contactos baja β\beta y por tanto R0R_0 efectivo: el pico es más bajo y más tardío, y el total de contagiados también baja. Así no se saturan los hospitales.

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Tamaño final

Sin intervención, la fracción que acaba contagiándose zz cumple z=1−e−R0zz = 1 - e^{-R_0 z}. Con R0=2,5R_0 = 2{,}5, z≈89 %z \approx 89\,\%: la epidemia se apaga antes de contagiar a todos.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Inmunidad de grupo

Con R0=2,5R_0 = 2{,}5: v>1−1/2,5=0,6v > 1 - 1/2{,}5 = 0{,}6. Hay que vacunar a más del 60 % (con una vacuna eficaz al 100 %).
Con R0=2,5R_0 = 2{,}5, el pico llega cuando los susceptibles bajan al 1/2,5=40 %1/2{,}5 = 40\,\%.
Con R0=15R_0 = 15: 1−1/15=93 %1 - 1/15 = 93\,\%. Por eso un pequeño descenso en la vacunación provoca brotes.

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Experimenta con el simulador

1

R₀ por debajo de 1

Pon R0=0,9R_0 = 0{,}9. ¿Crece la epidemia?
2

Aplanar la curva

Con R0=2,5R_0 = 2{,}5, reduce los contactos un 30 %. ¿Cómo cambian la altura y el día del pico?
3

Vacunar

Vacuna al 50 % y al 65 %. ¿En cuál de los dos se apaga la epidemia desde el principio?
4

No todos se contagian

Sin medidas, mira el total de contagiados. ¿Llega al 100 %?

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Errores frecuentes

  • Confundir R0R_0 con RtR_t.
  • Pensar que la epidemia termina cuando todos se han contagiado. Termina cuando Rt<1R_t < 1.
  • Olvidar las limitaciones del modelo: supone mezcla homogénea, inmunidad permanente y población cerrada.

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Herramientas relacionadas

Presa y depredador

Otro modelo de poblaciones.

Ecuaciones diferenciales

Cómo se resuelven estos modelos.

Interés compuesto

Crecimiento exponencial.
Última modificación el 6 de octubre de 2026