Skip to main content

Abrir el simulador

Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.
Casi todas las leyes de la física, la biología o la economía dicen cómo cambia algo: la velocidad de enfriamiento de un café, el crecimiento de una población, la carga de un condensador. Son ecuaciones diferenciales. Muchas no se pueden resolver con una fórmula, pero sí paso a paso, con métodos numéricos que usan los ordenadores para predecir el tiempo, simular puentes o lanzar cohetes.

​
Lo que vas a aprender

  • Qué es una ecuación diferencial de primer orden y un problema de valor inicial.
  • Interpretar el campo de direcciones.
  • Los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4.
  • Qué es el orden de un método y cómo depende el error del paso.

​
Cómo se usa el simulador

  1. Escribe la ecuación y′=f(x,y)y' = f(x, y) (por ejemplo x - y) o elige un ejemplo: y′=yy' = y, y′=x−yy' = x - y, y′=−2xyy' = -2xy, y′=y(1−y)y' = y(1 - y), y′=sin⁡x−yy' = \sin x - y, y′=x2+y2y' = x^2 + y^2.
  2. Arrastra sobre la gráfica para mover la condición inicial, o usa los deslizadores:
  1. Elige Euler, Heun o RK4 para ver su tabla de primeros pasos. La tabla final compara el valor de cada método con la solución exacta (línea discontinua) y su error.

​
Fundamentos teóricos

​
Ecuación diferencial y valor inicial

y′=f(x,y)y(x0)=y0y' = f(x, y) \qquad y(x_0) = y_0 La ecuación da la pendiente de la solución en cada punto. La condición inicial elige una solución entre las infinitas posibles.

​
Campo de direcciones

Dibujando en muchos puntos una rayita con la pendiente f(x,y)f(x, y) se ve el “flujo” de las soluciones: cada solución es una curva que sigue las rayitas.

​
Método de Euler

Avanza un paso hh en la dirección de la pendiente actual: yn+1=yn+h f(xn,yn)y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n) Es sencillo, pero se va desviando porque la pendiente cambia durante el paso.

​
Método de Heun (Euler mejorado)

Hace un paso de prueba con Euler, calcula la pendiente al final y usa la media de las dos: k1=f(xn,yn)k2=f(xn+h, yn+hk1)yn+1=yn+h2(k1+k2)k_1 = f(x_n, y_n) \quad k_2 = f(x_n + h,\ y_n + h k_1) \quad y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(k_1 + k_2)

​
Runge-Kutta de orden 4

Combina cuatro pendientes, al principio, dos en el medio y al final: yn+1=yn+h6(k1+2k2+2k3+k4)y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) Es el método estándar: muy preciso con pocos pasos.

​
Orden de un método

Un método de orden pp tiene un error global proporcional a hph^p:

​
Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Euler

y′=yy' = y, y(0)=1y(0) = 1, h=0,5h = 0{,}5. ¿Cuánto vale y(1)y(1)?y1=1+0,5⋅1=1,5y_1 = 1 + 0{,}5 \cdot 1 = 1{,}5; y2=1,5+0,5⋅1,5=2,25y_2 = 1{,}5 + 0{,}5 \cdot 1{,}5 = 2{,}25.Exacto: e≈2,718e \approx 2{,}718. Error: 0,47.
Mismo problema. Paso 1: k1=1k_1 = 1, k2=1,5k_2 = 1{,}5, y1=1+0,25⋅2,5=1,625y_1 = 1 + 0{,}25 \cdot 2{,}5 = 1{,}625. Paso 2: y2=2,641y_2 = 2{,}641. Error: 0,078, seis veces menor.
Para y′=yy' = y, cada paso de RK4 multiplica por 1+h+h22+h36+h424=1,64841 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{6} + \frac{h^4}{24} = 1{,}6484. Dos pasos: 2,71732{,}7173. Error: 0,0009, con los mismos dos pasos.

​
Experimenta con el simulador

1

El campo de direcciones

Con y′=x−yy' = x - y, mueve la condición inicial. ¿A qué recta se acercan todas las soluciones?
2

Orden

Con h=0,5h = 0{,}5 y luego h=0,25h = 0{,}25, compara los errores de los tres métodos. ¿Se dividen entre 2, 4 y 16?
3

Paso demasiado grande

Con y′=−2xyy' = -2xy, sube hh a 1 o más. ¿Qué le pasa a Euler?
4

Logística

Con y′=y(1−y)y' = y(1 - y), prueba condiciones iniciales entre 0 y 2. ¿Hacia dónde van?

​
Errores frecuentes

  • Usar la pendiente en el punto siguiente en el método de Euler (es la del punto actual).
  • Pensar que un paso más pequeño siempre compensa un método peor: RK4 con pasos grandes suele ganar a Euler con pasos pequeños.
  • Olvidar la condición inicial: sin ella hay infinitas soluciones.

​
Herramientas relacionadas

Presa y depredador

Un sistema de dos ecuaciones.

Modelo de una epidemia

El modelo SIR.

Circuitos RC y RL

Una ecuación diferencial en electricidad.
Última modificación el 6 de octubre de 2026