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Cualquier señal periódica, por complicada que sea, se puede escribir como suma de senos y cosenos de frecuencias múltiplas de la fundamental. Es lo que hace el oído con un acorde y lo que muestra un analizador de espectro. Joseph Fourier lo usó en 1807 para resolver la ecuación del calor, y hoy está detrás de la compresión de audio, el análisis de vibraciones y el estudio de circuitos con señales no sinusoidales.

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Lo que vas a aprender

  • Cómo se escribe una función periódica como serie de Fourier.
  • Las fórmulas de los coeficientes y por qué funcionan (ortogonalidad).
  • Cómo las simetrías par e impar ahorran la mitad del trabajo.
  • La forma compleja de la serie.
  • Qué pasa en las discontinuidades (fenómeno de Gibbs) y la identidad de Parseval.

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Fundamentos teóricos

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La serie

Para una función de periodo TT, con frecuencia angular fundamental ω0=2π/T\omega_0 = 2\pi/T: f(t)=a02+∑n=1∞(ancos⁡(nω0t)+bnsen⁡(nω0t))f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\operatorname{sen}(n\omega_0 t)\Big) El término n=1n = 1 es la fundamental; los siguientes son los armónicos.

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Coeficientes

an=2T∫0Tf(t)cos⁡(nω0t) dtbn=2T∫0Tf(t)sen⁡(nω0t) dta_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\operatorname{sen}(n\omega_0 t)\,dt Se puede integrar en cualquier intervalo de longitud TT, por ejemplo [−T/2,T/2][-T/2, T/2]. Con esta convención, a02\frac{a_0}{2} es el valor medio de la función. Funcionan por la ortogonalidad: la integral en un periodo de cos⁡(nω0t)cos⁡(mω0t)\cos(n\omega_0 t)\cos(m\omega_0 t) es 0 si n≠mn \ne m, igual que con senos y con productos seno-coseno. Al multiplicar la serie por un coseno e integrar, solo sobrevive un término.

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Simetrías

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Forma compleja

Con ejθ=cos⁡θ+jsen⁡θe^{j\theta} = \cos\theta + j\operatorname{sen}\theta: f(t)=∑n=−∞∞cn ejnω0tcn=1T∫0Tf(t) e−jnω0t dtf(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\,e^{jn\omega_0 t} \qquad c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)\,e^{-jn\omega_0 t}\,dt Relación con la forma real: c0=a02c_0 = \frac{a_0}{2} y cn=an−j bn2c_n = \frac{a_n - j\,b_n}{2}. El módulo ∣cn∣|c_n| es el espectro de amplitud.

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Convergencia

Si ff es continua a trozos con derivada continua a trozos (condiciones de Dirichlet):
  • Donde ff es continua, la serie converge a f(t)f(t).
  • En un salto, converge al punto medio: f(t−)+f(t+)2\frac{f(t^-) + f(t^+)}{2}.

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Fenómeno de Gibbs

Cerca de un salto, las sumas parciales se pasan alrededor de un 9 % del tamaño del salto, por muchos términos que se sumen. El pico se estrecha pero no baja. Es la razón de los “anillos” que aparecen en audio e imágenes muy comprimidos.

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Identidad de Parseval

La potencia media de la señal es la suma de las de cada armónico: 1T∫0T∣f(t)∣2 dt=a024+12∑n=1∞(an2+bn2)=∑n=−∞∞∣cn∣2\frac{1}{T}\int_0^T |f(t)|^2\,dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n=1}^\infty \left(a_n^2 + b_n^2\right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Onda cuadrada

f(t)=1f(t) = 1 en (0,π)(0, \pi) y f(t)=−1f(t) = -1 en (−π,0)(-\pi, 0), periodo 2π2\pi (ω0=1\omega_0 = 1).Es impar, así que an=0a_n = 0. Por simetría:bn=2π∫0πsen⁡(nt) dt=2nπ(1−cos⁡nπ)b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \operatorname{sen}(nt)\,dt = \frac{2}{n\pi}(1 - \cos n\pi), que vale 4nπ\frac{4}{n\pi} para nn impar y 0 para nn par.f(t)=4π(sen⁡t+sen⁡3t3+sen⁡5t5+⋯ )f(t) = \frac{4}{\pi}\left(\operatorname{sen} t + \frac{\operatorname{sen} 3t}{3} + \frac{\operatorname{sen} 5t}{5} + \cdots\right)
f(t)=tf(t) = t en (−π,π)(-\pi, \pi), periodo 2π2\pi. Es impar:bn=2π∫0πtsen⁡(nt) dt=2(−1)n+1nb_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\operatorname{sen}(nt)\,dt = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} (integrando por partes).t=2(sen⁡t−sen⁡2t2+sen⁡3t3−⋯ )t = 2\left(\operatorname{sen} t - \frac{\operatorname{sen} 2t}{2} + \frac{\operatorname{sen} 3t}{3} - \cdots\right)Los coeficientes bajan como 1/n1/n, igual que en la cuadrada: las dos tienen saltos.
f(t)=∣t∣f(t) = |t| en (−π,π)(-\pi, \pi). Es par, así que bn=0b_n = 0.a0=2π∫0πt dt=πa_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\,dt = \pi. an=2π∫0πtcos⁡(nt) dt=2((−1)n−1)πn2a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt = \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^2}, es decir, −4πn2-\frac{4}{\pi n^2} para nn impar.∣t∣=π2−4π(cos⁡t+cos⁡3t9+cos⁡5t25+⋯ )|t| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos t + \frac{\cos 3t}{9} + \frac{\cos 5t}{25} + \cdots\right)Al ser continua, los coeficientes bajan como 1/n21/n^2: converge mucho más deprisa.
Con la diente de sierra: 12π∫−ππt2 dt=π23\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\,dt = \frac{\pi^2}{3}.Por Parseval: π23=12∑4n2\frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum \frac{4}{n^2}, así que ∑n=1∞1n2=π26\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}. Es el problema de Basilea.
Una onda cuadrada de 1 kHz y amplitud 1 V pasa por un filtro que solo deja pasar hasta 4 kHz. ¿Qué sale?Los armónicos están en 1, 3, 5… kHz. Pasan la fundamental (4π≈1,27\frac{4}{\pi} \approx 1{,}27 V) y el tercero (43π≈0,42\frac{4}{3\pi} \approx 0{,}42 V): sale una onda redondeada con “hombros”.

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Errores frecuentes

  • Olvidar el 12\frac12 de a0a_0. Con la fórmula general de ana_n, el término constante es a0/2a_0/2, que es el valor medio.
  • Calcular coeficientes que la simetría anula. Mira primero si la función es par o impar.
  • Equivocarse con cos⁡nπ\cos n\pi. Vale (−1)n(-1)^n; y sen⁡nπ=0\operatorname{sen} n\pi = 0.
  • Pensar que más términos eliminan el pico de Gibbs. Solo lo estrechan.

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Preguntas frecuentes

Si está definida en un intervalo, se extiende periódicamente (de forma par o impar, según convenga) y se desarrolla. Si está definida en toda la recta y no se repite, se usa la transformada de Fourier: el periodo se hace infinito y la suma se convierte en integral.
Una nota de un instrumento tiene una fundamental (la nota) y armónicos con intensidades propias. Esas intensidades son el timbre: un la de 440 Hz en violín y en flauta tiene la misma fundamental pero distinta serie de Fourier.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026