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La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica. Se transforma la ecuación, se despeja la incógnita como si fuera un problema de primero de bachillerato y se vuelve atrás con una tabla. Además incluye las condiciones iniciales de forma automática. Es la herramienta estándar de los ingenieros para estudiar circuitos, sistemas mecánicos y sistemas de control.

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Lo que vas a aprender

  • La definición de la transformada y su tabla básica.
  • Las propiedades que hacen el trabajo: linealidad, derivada y desplazamientos.
  • Cómo calcular la transformada inversa con fracciones simples.
  • Cómo resolver una EDO lineal con condiciones iniciales en tres pasos.
  • Las funciones escalón y delta de Dirac, y los teoremas del valor inicial y final.

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Fundamentos teóricos

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Definición

Para una función f(t)f(t) definida en t≥0t \ge 0: F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t) e−st dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt La integral converge para ss mayor que cierto valor (la abscisa de convergencia). La variable ss puede ser compleja.

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Tabla básica

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Propiedades

La propiedad de la derivada es la clave: derivar en el tiempo equivale a multiplicar por ss, con las condiciones iniciales incluidas.

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Transformada inversa con fracciones simples

Casi siempre F(s)F(s) es un cociente de polinomios. Se descompone en fracciones simples y cada una se invierte con la tabla:

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Resolver una EDO

  1. Transformar la ecuación usando la propiedad de la derivada y las condiciones iniciales.
  2. Despejar Y(s)Y(s): es álgebra.
  3. Invertir con fracciones simples y la tabla.

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Valor inicial y valor final

f(0+)=lim⁡s→∞s F(s)lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0s F(s)f(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\,F(s) \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to 0} s\,F(s) El teorema del valor final solo vale si f(t)f(t) tiene límite, es decir, si todos los polos de sF(s)sF(s) tienen parte real negativa.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Transformada por la definición

L{eat}=∫0∞e(a−s)t dt=[e(a−s)ta−s]0∞=1s−a\mathcal{L}\{e^{at}\} = \int_0^\infty e^{(a-s)t}\,dt = \left[\frac{e^{(a-s)t}}{a-s}\right]_0^\infty = \frac{1}{s-a}, para s>as > a.
F(s)=3s+1(s−1)(s+2)F(s) = \frac{3s + 1}{(s-1)(s+2)}.3s+1(s−1)(s+2)=As−1+Bs+2\frac{3s+1}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}. Con s=1s = 1: A=43A = \frac{4}{3}. Con s=−2s = -2: B=−5−3=53B = \frac{-5}{-3} = \frac53.f(t)=43et+53e−2tf(t) = \frac43 e^{t} + \frac53 e^{-2t}.
y′+2y=4y' + 2y = 4, con y(0)=1y(0) = 1.sY−1+2Y=4s⇒Y=s+4s(s+2)=2s−1s+2sY - 1 + 2Y = \frac{4}{s} \Rightarrow Y = \frac{s + 4}{s(s+2)} = \frac{2}{s} - \frac{1}{s+2}.y(t)=2−e−2ty(t) = 2 - e^{-2t}. Comprobación: y(0)=1y(0) = 1 y tiende a 2, el valor de equilibrio.
y′′+4y=0y'' + 4y = 0, con y(0)=3y(0) = 3, y′(0)=2y'(0) = 2.s2Y−3s−2+4Y=0⇒Y=3s+2s2+4=3ss2+4+2s2+4s^2 Y - 3s - 2 + 4Y = 0 \Rightarrow Y = \frac{3s + 2}{s^2 + 4} = 3\frac{s}{s^2+4} + \frac{2}{s^2+4}.y(t)=3cos⁡2t+sen⁡2ty(t) = 3\cos 2t + \operatorname{sen} 2t.
y′′+2y′+5y=0y'' + 2y' + 5y = 0, con y(0)=1y(0) = 1, y′(0)=0y'(0) = 0.(s2+2s+5)Y=s+2⇒Y=s+2(s+1)2+4=s+1(s+1)2+4+12⋅2(s+1)2+4(s^2 + 2s + 5)Y = s + 2 \Rightarrow Y = \frac{s + 2}{(s+1)^2 + 4} = \frac{s+1}{(s+1)^2+4} + \frac12\cdot\frac{2}{(s+1)^2+4}.y(t)=e−t(cos⁡2t+12sen⁡2t)y(t) = e^{-t}\left(\cos 2t + \tfrac12\operatorname{sen} 2t\right): oscila y se amortigua.
Circuito RC con fuente VV desde t=0t = 0 y condensador descargado: RC v′+v=VRC\,v' + v = V.(RCs+1) VC(s)=Vs⇒VC=Vs(RCs+1)=V(1s−1s+1/RC)(RCs + 1)\,V_C(s) = \frac{V}{s} \Rightarrow V_C = \frac{V}{s(RCs + 1)} = V\left(\frac1s - \frac{1}{s + 1/RC}\right).v(t)=V(1−e−t/RC)v(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right), la curva de carga del condensador. Valor final: lim⁡s→0sVC(s)=V\lim_{s\to0} s V_C(s) = V.

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Errores frecuentes

  • Olvidar las condiciones iniciales en la transformada de la derivada: L{y′}=sY−y(0)\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0), no sYsY.
  • Confundir los desplazamientos. eatf(t)e^{at}f(t) desplaza en ss; f(t−a)u(t−a)f(t-a)u(t-a) multiplica por e−ase^{-as}.
  • No completar el cuadrado cuando el denominador no tiene raíces reales.
  • Usar el valor final con polos inestables. Para 1s−1\frac{1}{s-1} da 0, pero ete^t crece sin límite.

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Preguntas frecuentes

Convierte derivadas en productos, mete las condiciones iniciales desde el principio y trata con naturalidad entradas discontinuas (escalones, pulsos, impulsos). Además, en control y circuitos se trabaja directamente en el dominio ss con funciones de transferencia, sin volver nunca al tiempo.
La de Fourier es la de Laplace (bilateral) evaluada en s=jωs = j\omega, el eje imaginario. Laplace añade un factor de amortiguamiento e−σte^{-\sigma t} que hace converger la integral para funciones que crecen, por eso sirve para sistemas inestables.

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Temas relacionados

Ecuaciones diferenciales

Campo de direcciones y métodos numéricos.

Función de transferencia

Laplace aplicado a sistemas de control.

Transformada de Fourier

El espectro de frecuencias de una señal.
Última modificación el 12 de octubre de 2026