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La serie de Fourier descompone una señal periódica en armónicos. La transformada de Fourier hace lo mismo con cualquier señal: un pulso, un golpe o una palabra hablada. El resultado es su espectro, que dice qué frecuencias contiene y con qué intensidad. Es la herramienta central del procesado de señal, las telecomunicaciones, la óptica y la mecánica cuántica.

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Lo que vas a aprender

  • Cómo se pasa de la serie a la transformada de Fourier.
  • La transformada directa e inversa y el significado del espectro.
  • Los pares de transformadas que hay que conocer.
  • Las propiedades: desplazamiento, escalado, modulación y convolución.
  • La relación entre duración y ancho de banda, y qué es la FFT.

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Fundamentos teóricos

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Definición

X(ω)=∫−∞∞x(t) e−jωt dtx(t)=12π∫−∞∞X(ω) ejωt dωX(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j\omega t}\,dt \qquad x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega X(ω)X(\omega) es un número complejo para cada frecuencia: su módulo ∣X(ω)∣|X(\omega)| es el espectro de amplitud y su argumento, el de fase. En ingeniería también se usa la frecuencia ff en hercios, con ω=2πf\omega = 2\pi f, y entonces desaparece el 12π\frac{1}{2\pi} de la inversa. De dónde sale: si en la serie compleja de Fourier se hace crecer el periodo T→∞T \to \infty, los armónicos nω0n\omega_0 se juntan hasta formar un continuo y la suma se convierte en integral.

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Pares de transformadas

Aquí sinc⁡(x)=sen⁡(πx)πx\operatorname{sinc}(x) = \frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{\pi x}. La gaussiana es su propia transformada.

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Propiedades

Un retraso no cambia el espectro de amplitud, solo la fase. Y convolucionar en el tiempo es multiplicar en frecuencia: así se analiza un filtro.

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Duración y ancho de banda

Por la propiedad de escalado, una señal corta tiene un espectro ancho, y al revés. El producto de la duración por el ancho de banda tiene un mínimo: Δt⋅Δω≥12\Delta t \cdot \Delta\omega \ge \frac12 (con anchuras medidas como desviaciones típicas; la igualdad solo la cumple la gaussiana). En mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg, que puedes ver en el simulador de paquete de ondas.

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Teorema de Parseval

La energía es la misma calculada en el tiempo o en la frecuencia: ∫−∞∞∣x(t)∣2 dt=12π∫−∞∞∣X(ω)∣2 dω\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2\,dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|X(\omega)|^2\,d\omega

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La transformada discreta y la FFT

Un ordenador trabaja con NN muestras x0,…,xN−1x_0, \dots, x_{N-1}. La transformada discreta de Fourier (DFT) es Xk=∑n=0N−1xn e−j2πkn/NX_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-j2\pi kn/N} Calcularla directamente cuesta O(N2)O(N^2) operaciones. La FFT (Cooley-Tukey, 1965) usa divide y vencerás para hacerlo en O(Nlog⁡N)O(N\log N): con un millón de muestras, unas 50 000 veces más rápido.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Pulso rectangular

x(t)=1x(t) = 1 si ∣t∣<τ/2|t| < \tau/2 y 0 fuera.X(ω)=∫−τ/2τ/2e−jωt dt=ejωτ/2−e−jωτ/2jω=2sen⁡(ωτ/2)ωX(\omega) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} e^{-j\omega t}\,dt = \frac{e^{j\omega\tau/2} - e^{-j\omega\tau/2}}{j\omega} = \frac{2\operatorname{sen}(\omega\tau/2)}{\omega}.Vale τ\tau en ω=0\omega = 0 y se anula por primera vez en ω=2π/τ\omega = 2\pi/\tau. Si el pulso es la mitad de corto, el lóbulo principal es el doble de ancho.
x(t)=e−atu(t)x(t) = e^{-at}u(t): X(ω)=∫0∞e−(a+jω)t dt=1a+jωX(\omega) = \int_0^\infty e^{-(a + j\omega)t}\,dt = \frac{1}{a + j\omega}.∣X(ω)∣=1a2+ω2|X(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{a^2 + \omega^2}}: es el espectro de la respuesta de un circuito RC, un filtro paso bajo con frecuencia de corte ω=a\omega = a.
El pulso del ejemplo 1 retrasado 3 s tiene X(ω) e−j3ωX(\omega)\,e^{-j3\omega}: el mismo módulo y una fase que gira linealmente con la frecuencia.
Una señal m(t)m(t) con espectro hasta 5 kHz multiplicada por cos⁡(2π⋅1 MHz⋅t)\cos(2\pi \cdot 1\,\text{MHz} \cdot t).Por la propiedad de modulación, el espectro se copia centrado en ±1\pm1 MHz, ocupando de 995 a 1005 kHz. La radio AM necesita 10 kHz de ancho de banda por emisora.
Se toman N=1024N = 1024 muestras a fs=8f_s = 8 kHz. ¿Qué separación hay entre frecuencias?Δf=fs/N=8000/1024≈7,8\Delta f = f_s/N = 8000/1024 \approx 7{,}8 Hz. Para distinguir mejor frecuencias cercanas hace falta registrar más tiempo: Δf=1/Ttotal\Delta f = 1/T_{\text{total}}.

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Errores frecuentes

  • Mezclar convenios. Unos libros ponen el 12π\frac{1}{2\pi} en la directa, otros lo reparten como 12π\frac{1}{\sqrt{2\pi}} en las dos, y otros usan ff en lugar de ω\omega. Los resultados difieren en constantes.
  • Confundir sinc normalizada y sin normalizar. sen⁡xx\frac{\operatorname{sen} x}{x} y sen⁡πxπx\frac{\operatorname{sen} \pi x}{\pi x} tienen los ceros en sitios distintos.
  • Leer solo el módulo. La fase guarda la información temporal; dos señales distintas pueden tener el mismo espectro de amplitud.
  • Pensar que la FFT da más resolución con más muestras por segundo. La resolución depende de la duración total, no de la frecuencia de muestreo.

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Preguntas frecuentes

Fourier para el régimen permanente y el análisis en frecuencia de señales y filtros estables. Laplace para transitorios, condiciones iniciales y sistemas que pueden ser inestables. En un sistema estable, la respuesta en frecuencia es H(s)H(s) evaluada en s=jωs = j\omega.
En el MP3 y el JPEG (una variante, la transformada del coseno), en el 4G, el 5G y el wifi (OFDM), en los analizadores de vibraciones, en la resonancia magnética y en los afinadores de guitarra.

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Series de Fourier

El caso periódico.

Convolución y sistemas LTI

Qué hace un sistema con una señal.

Muestreo y Nyquist

De la señal analógica a las muestras.
Última modificación el 12 de octubre de 2026