Circunferencia unitaria: seno, coseno y tangente de cualquier ángulo

En el triángulo rectángulo, el seno y el coseno solo tienen sentido para ángulos agudos, entre 0° y 90°. Pero una rueda gira 120°, una manecilla 270° y una onda repite su forma una y otra vez. La circunferencia unitaria (también llamada circunferencia goniométrica) es la herramienta que extiende las razones trigonométricas a cualquier ángulo, y de paso hace visibles casi todas sus propiedades: los signos, las identidades, los valores notables y la periodicidad.

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Lo que vas a aprender

• Qué es la circunferencia unitaria y por qué el seno y el coseno son las coordenadas de un punto.
• Pasar de grados a radianes y al revés.
• Ver la tangente como un segmento y entender por qué no existe en 90°.
• Deducir la identidad fundamental $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$ a partir del dibujo.
• Saber el signo de cada razón en cada cuadrante.
• Calcular de memoria las razones de 30°, 45°, 60° y de todos sus “parientes” en otros cuadrantes.
• Entender por qué el seno y el coseno son funciones periódicas, con forma de onda.

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Cómo se usa el simulador

• Los paneles cos θ, sin θ y tan θ dan el valor exacto cuando el ángulo es notable (por ejemplo $\sqrt{2}/2$) y debajo su valor decimal.
• La gráfica Seno y coseno como ondas “desenrolla” la circunferencia: el eje horizontal es el ángulo y el vertical, el valor de cada razón.
• Los colores son siempre los mismos: el coseno es el segmento horizontal, el seno el vertical y la tangente el segmento sobre la recta $x = 1$.

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Fundamentos teóricos

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Del triángulo a la circunferencia

En un triángulo rectángulo con un ángulo agudo $\theta$, hipotenusa $h$, cateto opuesto $a$ y cateto contiguo $b$: $$\operatorname{sen}\theta = \frac{a}{h} \qquad \cos\theta = \frac{b}{h} \qquad \operatorname{tg}\theta = \frac{a}{b}$$ Estas razones no dependen del tamaño del triángulo, solo del ángulo (los triángulos semejantes tienen los mismos cocientes). Así que podemos elegir el triángulo más cómodo: el de hipotenusa 1. Entonces $\operatorname{sen}\theta = a$ y $\cos\theta = b$: el seno y el coseno son directamente las longitudes de los catetos. Si colocamos ese triángulo con el vértice del ángulo en el origen y la hipotenusa como un radio de una circunferencia de radio 1, el otro extremo de la hipotenusa es el punto $(b,\,a)$. De ahí sale la definición general.

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Definición

La circunferencia unitaria es la de centro el origen y radio 1, de ecuación $x^2 + y^2 = 1$. Los ángulos se miden desde el semieje $x$ positivo, en sentido antihorario (los negativos, en sentido horario). Si el radio que forma un ángulo $\theta$ corta a la circunferencia en el punto $P$, se define: $$P = (\cos\theta,\ \operatorname{sen}\theta)$$ Es decir: el coseno es la abscisa del punto y el seno es su ordenada. Esta definición coincide con la del triángulo para ángulos agudos, pero vale para cualquier ángulo: 150°, 270°, −45° o 1000°. Y la tangente: $$\operatorname{tg}\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} \qquad (\cos\theta \neq 0)$$

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Grados y radianes

Hay dos formas habituales de medir ángulos:

• Grados sexagesimales: una vuelta completa son 360°.
• Radianes: un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Como la longitud de la circunferencia es $2\pi r$, una vuelta completa son $2\pi$ radianes.

En la circunferencia unitaria el radio es 1, así que la medida en radianes de un ángulo es exactamente la longitud del arco que abarca. Por eso los radianes son la unidad “natural” en matemáticas y física. La equivalencia es: $$180° = \pi \text{ rad} \qquad\Longrightarrow\qquad \alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{grados}}\cdot\frac{\pi}{180}$$ Un radián son unos $57{,}3°$.

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La tangente como segmento

Traza la recta vertical $x = 1$, tangente a la circunferencia en el punto $(1, 0)$. Prolonga el radio de ángulo $\theta$ hasta que la corte. La altura del punto de corte es $\operatorname{tg}\theta$: por semejanza de triángulos, $\dfrac{\operatorname{tg}\theta}{1} = \dfrac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}$. De ahí el nombre: es un segmento sobre una recta tangente a la circunferencia. Y se ve enseguida que:

• Cuando $\theta$ se acerca a 90°, el radio se vuelve casi vertical y corta a la recta cada vez más arriba: la tangente crece sin límite.
• En 90° (y en 270°) el radio es paralelo a la recta y no la corta nunca: la tangente no existe. Algebraicamente, $\cos 90° = 0$ y no se puede dividir entre cero.

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La identidad fundamental

El punto $P = (\cos\theta, \operatorname{sen}\theta)$ está en la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$, así que: $$\boxed{\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1}$$ Es el teorema de Pitágoras en el triángulo de hipotenusa 1, y vale para todos los ángulos. Dividiendo entre $\cos^2\theta$ o entre $\operatorname{sen}^2\theta$ se obtienen otras dos muy útiles: $$1 + \operatorname{tg}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \qquad\qquad 1 + \frac{1}{\operatorname{tg}^2\theta} = \frac{1}{\operatorname{sen}^2\theta}$$ Una consecuencia inmediata: como las coordenadas de un punto de la circunferencia están entre −1 y 1, $$-1 \le \operatorname{sen}\theta \le 1 \qquad -1 \le \cos\theta \le 1$$ mientras que la tangente puede tomar cualquier valor real.

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Signos en cada cuadrante

Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes. El signo del coseno depende de si el punto está a la derecha o a la izquierda; el del seno, de si está arriba o abajo; y el de la tangente, del cociente de ambos. Una forma de recordarlo: en el I son todas positivas; en el II, solo el seno; en el III, solo la tangente; en el IV, solo el coseno.

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Ángulos notables

Hay tres ángulos agudos cuyas razones se pueden calcular de forma exacta con geometría sencilla:

• 45°: el triángulo rectángulo es isósceles, con los dos catetos iguales. Si la hipotenusa es 1, por Pitágoras $2c^2 = 1$, así que $c = \dfrac{1}{\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}$.
• 30° y 60°: se parte por la mitad un triángulo equilátero de lado 1. Queda un triángulo rectángulo con hipotenusa 1, un cateto de $\tfrac12$ (frente al ángulo de 30°) y otro de $\sqrt{1 - \tfrac14} = \dfrac{\sqrt3}{2}$ (frente al de 60°).

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Reducción al primer cuadrante

Gracias a la simetría de la circunferencia, las razones de cualquier ángulo se pueden expresar con las de un ángulo agudo, el ángulo de referencia. Solo hay que cuidar los signos. En la práctica, el método tiene tres pasos:

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Periodicidad: seno y coseno como ondas

Si el ángulo da una vuelta completa, el punto vuelve al mismo sitio. Por eso: $$\operatorname{sen}(\theta + 360°) = \operatorname{sen}\theta \qquad \cos(\theta + 360°) = \cos\theta \qquad \operatorname{tg}(\theta + 180°) = \operatorname{tg}\theta$$ El seno y el coseno son periódicos de periodo $2\pi$ (360°) y la tangente de periodo $\pi$ (180°). Al representar el seno frente al ángulo se obtiene la sinusoide, la forma de todas las ondas: el sonido, la corriente alterna, las mareas o un muelle oscilando. El coseno es la misma curva desplazada 90°: $\cos\theta = \operatorname{sen}(\theta + 90°)$. Esta es la conexión más importante de la circunferencia unitaria: un punto que gira con velocidad constante proyecta sobre los ejes un movimiento ondulatorio. Es la base del movimiento armónico simple y del análisis de cualquier fenómeno periódico.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Confundir qué coordenada es cada razón. El coseno es la $x$ (horizontal) y el seno la $y$ (vertical). Ayuda recordar que el coseno de 0° es 1: el punto está sobre el eje $x$.
• Usar la calculadora en el modo equivocado. Si $\operatorname{sen} 30$ te da $-0{,}988$, la calculadora está en radianes. Comprueba siempre el modo (DEG o RAD).
• Olvidar la segunda solución en las ecuaciones: casi siempre hay dos ángulos en una vuelta con el mismo seno (o el mismo coseno).
• Pensar que la tangente está entre −1 y 1. Eso solo pasa con el seno y el coseno; la tangente puede valer 1000.
• Escribir $\operatorname{sen}^2\theta$ como $\operatorname{sen}(\theta^2)$. $\operatorname{sen}^2\theta$ significa $(\operatorname{sen}\theta)^2$.
• Tomar el signo de la raíz al azar. Al despejar con la identidad fundamental sale un $\pm$; el cuadrante decide cuál vale.

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Un poco de historia

La trigonometría nació de la astronomía. Hiparco de Nicea (siglo II a. C.) construyó la primera tabla de cuerdas de una circunferencia para calcular posiciones de los astros, y Ptolomeo la amplió en el Almagesto. Los matemáticos de la India, como Aryabhata (siglo V), dieron el paso clave: trabajar con la media cuerda, que es justamente nuestro seno. Su nombre sánscrito, jya, pasó al árabe como jiba, se leyó jaib (“pliegue, bolsillo”) y se tradujo al latín como sinus, de donde viene “seno”. Fue Leonhard Euler, en el siglo XVIII, quien fijó el radio en 1 y trató el seno y el coseno como funciones de un número, tal como se hace hoy.

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Preguntas frecuentes

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