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Abrir el simulador

Un péndulo libre de moverse en todas direcciones, visto desde arriba y de lado.
Un péndulo normal oscila en un plano. Pero si a la masa le das un pequeño empujón de lado, empieza a girar alrededor de la vertical y dibuja figuras en forma de flor. Es un péndulo esférico: una masa colgada de un hilo que puede moverse en cualquier dirección. Con el empuje justo gira en círculo (péndulo cónico); con cualquier otro, dibuja una roseta que va girando.

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Lo que vas a aprender

  • Los tres comportamientos del péndulo esférico: plano, cónico y roseta.
  • Por qué se conserva el momento angular respecto al eje vertical.
  • Calcular la velocidad y el periodo del péndulo cónico.
  • Qué es la precesión de la trayectoria.

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Cómo se usa el simulador

  • Dos vistas: desde arriba, donde se ve la roseta, y de lado.
  • El panel muestra el ángulo con la vertical, la velocidad lateral inicial, el momento angular vertical (constante) y el error de energía del cálculo.

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Fundamentos teóricos

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Las fuerzas

Sobre la masa actúan el peso (vertical) y la tensión del hilo (hacia el punto de suspensión). Ninguna de las dos produce un par alrededor del eje vertical que pasa por el punto de suspensión.

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Dos cantidades conservadas

  1. La energía, porque no hay rozamiento.
  2. El momento angular respecto al eje vertical:
Lz=m r2 ϕ˙=m (Lsin⁡θ)2 ϕ˙=constanteL_z = m\,r^2\,\dot\phi = m\,(L\sin\theta)^2\,\dot\phi = \text{constante} donde ϕ\phi es el ángulo de giro alrededor de la vertical y r=Lsin⁡θr = L\sin\theta la distancia al eje. Cuando la masa se acerca a la vertical (rr menor), gira más deprisa, como un patinador que recoge los brazos.

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Péndulo cónico

Si la masa gira en una circunferencia horizontal con el hilo formando un ángulo θ\theta constante, la componente horizontal de la tensión da la fuerza centrípeta y la vertical equilibra el peso: Tcos⁡θ=mgTsin⁡θ=mv2rT\cos\theta = m g \qquad T\sin\theta = m\frac{v^2}{r} Dividiendo, con r=Lsin⁡θr = L\sin\theta: v=g Lsin⁡θtan⁡θTvuelta=2πLcos⁡θgv = \sqrt{g\,L\sin\theta\tan\theta} \qquad T_{\text{vuelta}} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}

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La roseta y la precesión

Con un empuje distinto del cónico, el ángulo θ\theta oscila entre un mínimo y un máximo. Vista desde arriba, la masa dibuja algo parecido a una elipse, pero la elipse va girando en cada vuelta: es una precesión. Ocurre porque el tiempo que tarda θ\theta en oscilar no coincide exactamente con el que tarda la masa en dar media vuelta alrededor del eje. Solo para oscilaciones muy pequeñas la elipse se cierra.

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El péndulo plano

Sin empuje lateral, Lz=0L_z = 0 y la masa oscila en un plano vertical: es el péndulo simple de siempre.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Péndulo cónico a 30°

Un péndulo de 1 m gira como péndulo cónico formando 30° con la vertical. ¿A qué velocidad va la masa y cuánto tarda en dar una vuelta?Velocidad: v=9,81⋅1⋅0,5⋅0,577=1,68v = \sqrt{9{,}81 \cdot 1 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}577} = 1{,}68 m/s.Radio: r=1⋅sin⁡30°=0,5r = 1 \cdot \sin 30° = 0{,}5 m.Periodo: T=2π⋅0,5/1,68=1,87T = 2\pi \cdot 0{,}5/1{,}68 = 1{,}87 s, igual que 2π0,866/9,812\pi\sqrt{0{,}866/9{,}81}.
El mismo péndulo a 60°: v=9,81⋅0,866⋅1,732=3,84v = \sqrt{9{,}81 \cdot 0{,}866 \cdot 1{,}732} = 3{,}84 m/s y T=2π0,5/9,81=1,42T = 2\pi\sqrt{0{,}5/9{,}81} = 1{,}42 s.A más ángulo, la masa va más rápida y tarda menos en dar la vuelta.

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Experimenta con el simulador

1

Los tres casos

Con θ₀ = 30°, prueba empuje 0 %, 100 % y 60 %. Describe la trayectoria vista desde arriba en cada caso.
2

Más rápido cerca del centro

Con empuje 40 %, observa cuándo gira más deprisa la masa: ¿cuando está más lejos o más cerca de la vertical?
3

Momento angular constante

Mira el valor del momento angular vertical mientras se mueve. ¿Cambia?

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Errores frecuentes

  • Pensar que la tensión del hilo hace girar la masa. La tensión apunta al punto de suspensión y no produce par respecto al eje vertical.
  • Usar el radio LL en vez de Lsin⁡θL\sin\theta en la fuerza centrípeta.
  • Confundir la precesión del péndulo esférico con la de Foucault, que se debe a la rotación de la Tierra.

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Preguntas frecuentes

Un péndulo cónico doble que gira con el motor de una máquina de vapor. Si el motor se acelera, las bolas se abren y una palanca cierra la entrada de vapor. Fue uno de los primeros sistemas de control automático.
El de Foucault es un péndulo esférico muy largo que oscila casi en un plano, y ese plano gira por la rotación de la Tierra. La precesión por amplitud grande que se ve aquí es un efecto que hay que evitar en un Foucault.

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Simuladores relacionados

Movimiento circular

Fuerza centrípeta y velocidad angular.

Movimiento armónico simple

El péndulo plano con ángulos pequeños.

Gravitación y órbitas

Otro sistema que conserva el momento angular.
Última modificación el 6 de octubre de 2026