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Abrir el simulador

Dos péndulos unidos por un muelle: modos normales, pulsaciones y la energía pasando de uno a otro.
Si unes dos péndulos iguales con un muelle débil, separas solo uno y lo sueltas, ocurre algo sorprendente: poco a poco el primero se va parando mientras el segundo empieza a oscilar, hasta que toda la energía ha pasado al segundo. Luego vuelve. Es el ejemplo más sencillo de osciladores acoplados, y su explicación, los modos normales, es una de las ideas más útiles de la física: aparece en moléculas, cristales, edificios, circuitos e instrumentos musicales.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un modo normal y cuáles son los dos modos de dos péndulos acoplados.
  • Calcular las frecuencias de los modos en fase y en oposición.
  • Por qué al excitar un solo péndulo aparecen pulsaciones.
  • Calcular el tiempo que tarda la energía en pasar de un péndulo al otro.

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Cómo se usa el simulador

  • Dos barras muestran el porcentaje de energía de cada péndulo en cada instante.
  • La gráfica Ángulos en el tiempo dibuja el péndulo 1 arriba y el 2 abajo.
  • El panel da el periodo de cada modo, el periodo de pulsación y el tiempo que tarda en pasar toda la energía.

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Fundamentos teóricos

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El sistema

Dos péndulos iguales de longitud LL y masa mm están unidos por un muelle de constante kk. Para ángulos pequeños, cada péndulo siente su propia fuerza recuperadora (la gravedad) y la del muelle, que depende de la diferencia entre sus posiciones. Por eso el movimiento de uno afecta al otro: están acoplados.

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Los modos normales

Un modo normal es una forma de oscilar en la que todas las partes se mueven con la misma frecuencia y una relación de fase fija. Si el sistema empieza en un modo normal, se queda en él para siempre. Modo en fase. Los dos péndulos se mueven juntos, a la vez y hacia el mismo lado. El muelle no se estira, así que es como si no existiera: ω1=gL\omega_1 = \sqrt{\frac{g}{L}} Modo en oposición. Se mueven en sentidos contrarios. El muelle se estira y se comprime el doble de lo que se desplaza cada péndulo, y añade fuerza recuperadora: ω2=gL+2km\omega_2 = \sqrt{\frac{g}{L} + \frac{2k}{m}} El modo en oposición siempre es más rápido.

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Cualquier movimiento es una mezcla de modos

Cualquier movimiento del sistema es una superposición de los dos modos normales. Si sueltas solo el primero con amplitud θ0\theta_0: θ1(t)=θ0cos⁡ ⁣(ω2−ω12 t)cos⁡ ⁣(ω1+ω22 t)\theta_1(t) = \theta_0\cos\!\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\,t\right)\cos\!\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\,t\right) θ2(t)=θ0sin⁡ ⁣(ω2−ω12 t)sin⁡ ⁣(ω1+ω22 t)\theta_2(t) = \theta_0\sin\!\left(\frac{\omega_2 - \omega_1}{2}\,t\right)\sin\!\left(\frac{\omega_1 + \omega_2}{2}\,t\right) Cada péndulo oscila rápido, a la frecuencia media, con una amplitud que varía lentamente: son pulsaciones, como las que se oyen al tocar dos notas de frecuencias muy parecidas.

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El periodo de las pulsaciones

La energía va y vuelve de un péndulo al otro con periodo: Tpuls=2πω2−ω1T_{\text{puls}} = \frac{2\pi}{\omega_2 - \omega_1} y pasa entera de uno al otro en la mitad de ese tiempo. Cuanto más débil es el muelle, más parecidas son las frecuencias y más lento es el intercambio.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Frecuencias de los modos

Dos péndulos de 1 m y 0,5 kg están unidos por un muelle de k=0,4k = 0{,}4 N/m. Calcula las frecuencias angulares de los modos y el periodo de las pulsaciones.En fase: ω1=9,81=3,132\omega_1 = \sqrt{9{,}81} = 3{,}132 rad/s (T=2,01T = 2{,}01 s).En oposición: ω2=9,81+2⋅0,4/0,5=11,41=3,378\omega_2 = \sqrt{9{,}81 + 2 \cdot 0{,}4/0{,}5} = \sqrt{11{,}41} = 3{,}378 rad/s (T=1,86T = 1{,}86 s).Pulsaciones: Tpuls=2π/0,246=25,6T_{\text{puls}} = 2\pi/0{,}246 = 25{,}6 s. La energía pasa entera al segundo péndulo en unos 12,8 s.
Si el muelle tiene la mitad de rigidez, k=0,2k = 0{,}2 N/m, ¿cuánto tarda el intercambio?ω2=9,81+0,8=3,257\omega_2 = \sqrt{9{,}81 + 0{,}8} = 3{,}257 rad/s; ω2−ω1=0,125\omega_2 - \omega_1 = 0{,}125 rad/s.Tpuls=2π/0,125=50,2T_{\text{puls}} = 2\pi/0{,}125 = 50{,}2 s: aproximadamente el doble.

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Experimenta con el simulador

1

Los dos modos

Elige “En fase” y luego “En oposición”. ¿Cambian las barras de energía? ¿Cuál de los dos modos tiene el periodo más corto?
2

Pulsaciones

Elige “Solo el primero” y cronometra el tiempo hasta que el primer péndulo se para. Compáralo con el que da el panel.
3

Muelle más flojo, intercambio más lento

Baja kk y comprueba que el periodo de pulsación crece. ¿Qué pasa si subes mucho kk?

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Errores frecuentes

  • Pensar que en el modo en fase el muelle influye. No se estira, así que la frecuencia es la del péndulo solo.
  • Olvidar el factor 2 en 2k/m2k/m: el muelle se deforma por el movimiento de los dos péndulos.
  • Confundir el periodo de pulsación con el de transferencia completa, que es la mitad.

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Preguntas frecuentes

En las moléculas (sus modos de vibración se ven en espectroscopia), en los cristales (los fonones), en edificios y puentes, en circuitos acoplados y en las cuerdas de un piano que suenan juntas.
Tantos como grados de libertad. Dos péndulos, dos modos; una cuerda con NN masas, NN modos; una cuerda continua, infinitos (sus armónicos).
Las fórmulas suponen ángulos pequeños, hasta unos 15°. Con más amplitud el intercambio de energía deja de ser perfecto.

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Última modificación el 6 de octubre de 2026