Movimiento armónico simple (MAS): ecuaciones, muelle y péndulo

Un muelle que rebota, un columpio, la cuerda de una guitarra o los átomos de un sólido vibran de la misma manera: alrededor de una posición de equilibrio y con una fuerza que siempre tira hacia ella. El modelo más sencillo de oscilación es el movimiento armónico simple (MAS), y es tan importante porque cualquier sistema que oscila con poca amplitud se comporta, en primera aproximación, como un MAS.

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Lo que vas a aprender

• Qué fuerza produce un MAS y cuál es su ecuación.
• Las magnitudes del MAS: amplitud, pulsación, periodo, frecuencia y fase.
• Las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración, y su desfase.
• El periodo de un muelle y de un péndulo, y de qué no dependen.
• Cómo se reparte la energía entre cinética y potencial.

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Cómo se usa el simulador

En el modo péndulo los controles cambian a la longitud, el planeta y el ángulo inicial.

• La gráfica muestra $x(t)$, $v(t)$ y $a(t)$, cada una escalada a su máximo, para ver sus desfases.
• El panel da la pulsación, el periodo, la frecuencia, los valores instantáneos de $x$, $v$ y $a$, y las barras de energía cinética, potencial y mecánica.
• En el péndulo, el simulador calcula el movimiento exacto y compara el periodo real con el de la fórmula de ángulos pequeños.

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Fundamentos teóricos

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La fuerza recuperadora

Un cuerpo hace un MAS cuando la fuerza que lo devuelve al equilibrio es proporcional a la separación y de sentido contrario. En un muelle es la ley de Hooke: $$F = -k\,x$$ Con la segunda ley de Newton, $m\,a = -k\,x$, es decir: $$a = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^2 x$$ La aceleración es proporcional a la elongación y siempre apunta hacia el equilibrio.

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Ecuación del movimiento

La solución de esa ecuación es una función sinusoidal: $$x(t) = A\,\sin(\omega t + \varphi_0)$$

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Velocidad y aceleración

Derivando la posición: $$v(t) = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0) \qquad a(t) = -A\,\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x$$

• La velocidad va un cuarto de periodo por delante de la elongación.
• La aceleración está en oposición de fase con la elongación.
• La velocidad es máxima en el equilibrio, $v_{\text{máx}} = A\omega$, y nula en los extremos.
• La aceleración es nula en el equilibrio y máxima en los extremos, $a_{\text{máx}} = A\omega^2$.

Una relación muy útil, que no necesita el tiempo: $$v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

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Periodo de un muelle

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$ El periodo no depende de la amplitud: si estiras más el muelle, la masa recorre más camino pero va más deprisa. Con cuatro veces más masa, el periodo se duplica.

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Periodo de un péndulo

Para ángulos pequeños ($\sin\theta \approx \theta$), un péndulo simple de longitud $L$ hace un MAS con: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ No depende de la masa ni (para ángulos pequeños) de la amplitud. Esta propiedad, el isocronismo, la descubrió Galileo y es la base de los relojes de péndulo. Hasta unos 15° el error es menor del 0,5 %; a 45° el periodo real ya es un 4 % mayor.

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Energía del oscilador

La energía potencial elástica de un muelle es $E_p = \tfrac12 k x^2$. Sumando la cinética: $$E = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2$$ La energía mecánica es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud. En los extremos es toda potencial; al pasar por el equilibrio, toda cinética.

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MAS y movimiento circular

Un MAS es la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme de radio $A$ y velocidad angular $\omega$. Por eso se habla de “pulsación” y de “fase” con ángulos.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Usar la calculadora en grados con $\sin(\omega t + \varphi_0)$: la fase está en radianes.
• Pensar que el periodo del péndulo depende de la masa.
• Confundir $\omega$ con $f$: $\omega = 2\pi f$.
• Decir que en el extremo la aceleración es cero porque la velocidad lo es. Es justo al revés.
• Olvidar el signo negativo de $a = -\omega^2 x$.

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Preguntas frecuentes

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