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Abrir la calculadora

Resuelve ax² + bx + c = 0 con el discriminante y las soluciones reales o complejas.
Las ecuaciones de segundo grado aparecen por todas partes: en el tiro parabólico, en áreas, en problemas de optimización, en física y en economía. Todas se resuelven con una única fórmula, y un número, el discriminante, avisa antes de calcular de cuántas soluciones hay.

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Cómo se usa la calculadora

  1. Escribe los coeficientes a (de x2x^2), b (de xx) y c (el término independiente).
  2. La calculadora da las soluciones, el discriminante con su interpretación y el vértice de la parábola y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c, con cada cálculo.
Si tu ecuación no está en la forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, pásalo todo a un lado primero, o usa Resolver ecuaciones paso a paso.

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Fundamentos teóricos

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La fórmula general

ax2+bx+c=0(a≠0)⟹x=−b±b2−4ac2aax^2 + bx + c = 0 \quad (a \ne 0) \qquad\Longrightarrow\qquad x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} Sale de completar el cuadrado: dividiendo entre aa y sumando (b/2a)2(b/2a)^2 a los dos lados queda (x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.

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El discriminante

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac Con Δ<0\Delta < 0, las soluciones son x=−b2a±−Δ2a ix = \dfrac{-b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{-\Delta}}{2a}\,i.

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Vértice de la parábola

xv=−b2ayv=c−b24ax_v = -\frac{b}{2a} \qquad y_v = c - \frac{b^2}{4a} Las dos soluciones están a la misma distancia del vértice, a izquierda y derecha.

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Suma y producto de las raíces (Cardano-Vieta)

x1+x2=−bax1⋅x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} Sirve para comprobar el resultado o para escribir una ecuación conociendo sus soluciones: x2−Sx+P=0x^2 - Sx + P = 0.

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Factorización

Si x1x_1 y x2x_2 son las soluciones, ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Dos soluciones

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0: Δ=25−24=1\Delta = 25 - 24 = 1; x=(5±1)/2x = (5 \pm 1)/2, es decir, x1=3x_1 = 3, x2=2x_2 = 2.Comprobación: suma 5=−(−5)/15 = -(-5)/1 ✓; producto 6=6/16 = 6/1 ✓. Vértice: (2,5; −0,25)(2{,}5;\ -0{,}25).
2x2+4x+2=02x^2 + 4x + 2 = 0: Δ=16−16=0\Delta = 16 - 16 = 0; x=−4/4=−1x = -4/4 = -1 (doble). Es 2(x+1)22(x + 1)^2.
x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0: Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16; x=−2±4i2=−1±2ix = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.
Un rectángulo tiene 3 m más de largo que de ancho y 40 m² de área. ¿Cuánto mide?x(x+3)=40⇒x2+3x−40=0x(x + 3) = 40 \Rightarrow x^2 + 3x - 40 = 0; Δ=9+160=169\Delta = 9 + 160 = 169; x=(−3±13)/2x = (-3 \pm 13)/2: x=5x = 5 o x=−8x = -8. Un ancho negativo no tiene sentido: mide 5 m × 8 m.

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Errores frecuentes

  • Olvidar el signo de bb: si b=−5b = -5, entonces −b=5-b = 5 y b2=25b^2 = 25.
  • Dividir solo la raíz entre 2a2a: hay que dividir todo el numerador.
  • Calcular −b2-b^2 en vez de b2b^2: el cuadrado siempre es positivo.
  • No igualar a cero antes de identificar aa, bb y cc.

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Herramientas relacionadas

Resolver ecuaciones

Con paréntesis y denominadores, paso a paso.

Números complejos

Cuando el discriminante es negativo.

Transformaciones de funciones

La parábola y sus desplazamientos.
Última modificación el 6 de octubre de 2026