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Factoriza cualquier polinomio paso a paso, con la tabla de Ruffini.
Igual que 12=2⋅2⋅312 = 2 \cdot 2 \cdot 3, un polinomio se puede escribir como producto de polinomios más sencillos. Factorizar sirve para encontrar las raíces (los valores que lo anulan), simplificar fracciones algebraicas y resolver ecuaciones de grado alto. Hay un orden de ataque que funciona casi siempre.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es una raíz de un polinomio y su relación con los factores.
  • El orden para factorizar: factor común, identidades notables, Ruffini y fórmula de segundo grado.
  • La regla de Ruffini y qué valores probar.
  • Qué es una raíz doble y qué polinomios no se pueden factorizar más.

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Cómo se usa la herramienta

  1. Escribe el polinomio, por ejemplo x^3 − 2x^2 − x + 2. Los botones ayudan con x, x², x³, xⁿ, paréntesis y −.
  2. Pulsa Factorizar.
  3. Verás la factorización, las raíces y el paso a paso, con la tabla de Ruffini dibujada y la comprobación final.
Los botones de Ejemplos cargan casos típicos: con factor común, identidades notables, bicuadrados y raíces irracionales.

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Fundamentos teóricos

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Raíces y factores

Un número aa es raíz de P(x)P(x) si P(a)=0P(a) = 0.
  • Teorema del resto: el resto de dividir P(x)P(x) entre (x−a)(x - a) es P(a)P(a).
  • Teorema del factor: aa es raíz si y solo si (x−a)(x - a) es factor de P(x)P(x).
Un polinomio de grado nn tiene como mucho nn raíces reales.

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El orden para factorizar

  1. Factor común: saca el número o la potencia de xx que esté en todos los términos. 2x3−8x=2x(x2−4)2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4).
  2. Identidades notables:
    • a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
    • a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
    • a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  3. Ruffini (grado 3 o más): busca raíces entre los divisores del término independiente.
  4. Fórmula de segundo grado para el factor cuadrático que quede.

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La regla de Ruffini

Divide un polinomio entre (x−a)(x - a) usando solo los coeficientes:
  1. Escribe los coeficientes en orden, poniendo 0 en los que falten.
  2. Baja el primero.
  3. Multiplícalo por aa y súmalo al siguiente. Repite.
  4. El último número es el resto; los demás, los coeficientes del cociente.
Si el resto es 0, aa es raíz.

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¿Qué valores probar?

Las raíces enteras posibles son los divisores del término independiente, con signo + y −. Si el coeficiente principal no es 1, también las fracciones p/qp/q con pp divisor del término independiente y qq del coeficiente principal.

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Raíces dobles y polinomios irreducibles

  • Una raíz doble aparece dos veces: (x−3)2(x - 3)^2. La gráfica toca el eje X sin cruzarlo.
  • x2+1x^2 + 1 no tiene raíces reales: no se puede factorizar en los reales.
  • x2−2=(x−2)(x+2)x^2 - 2 = (x - \sqrt2)(x + \sqrt2): raíces irracionales, que Ruffini no encuentra.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Ruffini

P(x)=x3−2x2−x+2P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2. Divisores de 2: ±1, ±2.Con x=1x = 1: coeficientes 1, −2, −1, 2 → bajamos 1; 1⋅1−2=−11 \cdot 1 - 2 = -1; −1⋅1−1=−2-1 \cdot 1 - 1 = -2; −2⋅1+2=0-2 \cdot 1 + 2 = 0. Resto 0.P(x)=(x−1)(x2−x−2)P(x) = (x - 1)(x^2 - x - 2), y x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0 da x=2x = 2 y x=−1x = -1.Solución: (x+1)(x−1)(x−2)(x + 1)(x - 1)(x - 2).
2x3−8x=2x(x2−4)=2x(x+2)(x−2)2x^3 - 8x = 2x(x^2 - 4) = 2x(x + 2)(x - 2).
x4−5x2+4x^4 - 5x^2 + 4. Con t=x2t = x^2: t2−5t+4=(t−1)(t−4)t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4).(x2−1)(x2−4)=(x−1)(x+1)(x−2)(x+2)(x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2).
x3−3x+2x^3 - 3x + 2: con x=1x = 1, cociente x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2).(x−1)2(x+2)(x - 1)^2(x + 2): x=1x = 1 es raíz doble.
6x2−x−16x^2 - x - 1: raíces x=1±512x = \dfrac{1 \pm 5}{12}, es decir, 12\tfrac12 y −13-\tfrac13.6(x−12)(x+13)=(2x−1)(3x+1)6\left(x - \tfrac12\right)\left(x + \tfrac13\right) = (2x - 1)(3x + 1).

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Errores frecuentes

  • Olvidar los ceros de los coeficientes que faltan en Ruffini (x3−1x^3 - 1 son 1, 0, 0, −1).
  • Cambiar el signo de la raíz: si a=2a = 2 es raíz, el factor es (x−2)(x - 2), no (x+2)(x + 2).
  • Olvidar el coeficiente principal al escribir la factorización final.
  • Probar solo valores positivos.

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Preguntas frecuentes

No siempre con números racionales. x2+1x^2 + 1 no tiene raíces reales y x2−2x^2 - 2 las tiene irracionales. Un polinomio de grado 3 o más sin raíces racionales no se puede seguir factorizando con Ruffini.
Para resolver ecuaciones de grado alto, simplificar fracciones algebraicas, estudiar el signo de un polinomio (inecuaciones) y calcular límites con indeterminación 0/0.

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Herramientas relacionadas

Ecuación de segundo grado

El último paso de la factorización.

Límites paso a paso

Factorizar para resolver 0/0.

Factores primos

La misma idea con números.
Última modificación el 6 de octubre de 2026