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Las ecuaciones x2=2x^2 = 2 o ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 tienen fórmula, pero cos⁡x=x\cos x = x o e−x=x2−1e^{-x} = x^2 - 1 no. En ingeniería la mayoría de las ecuaciones son de este segundo tipo: el punto de trabajo de un diodo, la tasa de interés de un préstamo o la frecuencia de resonancia de una viga. Los métodos numéricos encuentran la solución con la precisión que se quiera, repitiendo un paso sencillo.

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Lo que vas a aprender

  • El teorema de Bolzano y el método de bisección.
  • El método de Newton-Raphson y por qué es tan rápido.
  • Los métodos de la secante y del punto fijo.
  • Qué es el orden de convergencia y cómo se compara cada método.
  • Cuándo se debe parar y cuándo un método puede fallar.

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Fundamentos teóricos

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Teorema de Bolzano

Si ff es continua en [a,b][a, b] y f(a)f(a) y f(b)f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un c∈(a,b)c \in (a, b) con f(c)=0f(c) = 0. Es lo que garantiza que hay raíz y permite encerrarla.

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Bisección

  1. Calcula el punto medio m=a+b2m = \frac{a + b}{2}.
  2. Si f(a)f(a) y f(m)f(m) tienen signos opuestos, la raíz está en [a,m][a, m]; si no, en [m,b][m, b].
  3. Repite con el nuevo intervalo.
Cada paso divide el error por 2. Tras nn pasos, el error es como mucho b−a2n+1\frac{b - a}{2^{n+1}}. Para conseguir un error ε\varepsilon hacen falta n≥log⁡2b−aε−1n \ge \log_2\frac{b - a}{\varepsilon} - 1 Es lento pero siempre converge.

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Newton-Raphson

Se sustituye la curva por su recta tangente y se busca dónde corta al eje: xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} Cerca de una raíz simple, el error se eleva al cuadrado en cada paso: el número de cifras correctas aproximadamente se duplica. A cambio, necesita la derivada y un buen punto de partida.

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Secante

Igual que Newton, pero sustituye la derivada por la pendiente entre los dos últimos puntos: xn+1=xn−f(xn) xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} No necesita derivada y su orden es φ=1+52≈1,618\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618, el número áureo. Regula falsi usa la misma fórmula pero conserva siempre un intervalo con cambio de signo, como la bisección: es segura pero puede volverse lenta.

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Punto fijo

Se reescribe la ecuación como x=g(x)x = g(x) y se itera xn+1=g(xn)x_{n+1} = g(x_n). Converge si cerca de la raíz ∣g′(x)∣<1|g'(x)| < 1 y cuanto menor sea ∣g′∣|g'|, más rápido. La misma ecuación se puede reescribir de muchas formas; unas convergen y otras no.

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Orden de convergencia

Un método tiene orden pp si ∣en+1∣≈C ∣en∣p|e_{n+1}| \approx C\,|e_n|^p.

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Criterios de parada

Se para cuando se cumple uno de estos:
  • ∣xn+1−xn∣<ε|x_{n+1} - x_n| < \varepsilon (el paso es pequeño).
  • ∣f(xn)∣<δ|f(x_n)| < \delta (el residuo es pequeño).
  • Se alcanza un número máximo de iteraciones (por si no converge).
En la práctica se combinan los tres.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Bisección para √2

f(x)=x2−2f(x) = x^2 - 2 en [1,2][1, 2]: f(1)=−1<0f(1) = -1 < 0, f(2)=2>0f(2) = 2 > 0.Tras 5 pasos, 2∈[1,40625; 1,4375]\sqrt2 \in [1{,}40625;\ 1{,}4375]. Para 10−610^{-6} harían falta unos 20 pasos.
xn+1=xn−xn2−22xn=12(xn+2xn)x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac12\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), el método babilónico.Las cifras correctas se duplican en cada paso.
f(x)=cos⁡x−xf(x) = \cos x - x, f′(x)=−sen⁡x−1f'(x) = -\operatorname{sen} x - 1, x0=1x_0 = 1.x1=1−cos⁡1−1−sen⁡1−1=1−−0,4597−1,8415=0,7504x_1 = 1 - \frac{\cos 1 - 1}{-\operatorname{sen} 1 - 1} = 1 - \frac{-0{,}4597}{-1{,}8415} = 0{,}7504x2=0,7391x_2 = 0{,}7391, x3=0,739085x_3 = 0{,}739085. La solución es 0,7390851…0{,}7390851\ldots, el número de Dottie.
La ecuación x2−x−2=0x^2 - x - 2 = 0 tiene raíz x=2x = 2.
  • g1(x)=x+2g_1(x) = \sqrt{x + 2}: g1′(2)=124=0,25<1g_1'(2) = \frac{1}{2\sqrt4} = 0{,}25 < 1. Converge: desde x0=0x_0 = 0, se obtiene 1,414; 1,848; 1,962; 1,990…
  • g2(x)=x2−2g_2(x) = x^2 - 2: g2′(2)=4>1g_2'(2) = 4 > 1. Diverge: desde x0=2,1x_0 = 2{,}1, se obtiene 2,41; 3,81; 12,5…
f(x)=x3−2x+2f(x) = x^3 - 2x + 2 con x0=0x_0 = 0: x1=0−2−2=1x_1 = 0 - \frac{2}{-2} = 1, y x2=1−11=0x_2 = 1 - \frac{1}{1} = 0. El método entra en un ciclo entre 0 y 1 y nunca converge.Otras causas de fallo: f′(xn)≈0f'(x_n) \approx 0 (la tangente es casi horizontal y salta lejos) o raíces múltiples, donde el orden baja a 1.

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Errores frecuentes

  • Aplicar bisección sin comprobar el cambio de signo. Si f(a)f(a) y f(b)f(b) tienen el mismo signo, puede no haber raíz, o haber dos.
  • Confiar en Newton desde cualquier punto. Es muy rápido cerca de la raíz pero puede divergir o ciclar lejos de ella.
  • Parar solo con ∣f(x)∣|f(x)| pequeño. Si la función es muy plana, ∣f∣|f| es pequeño lejos de la raíz.
  • Elegir mal g(x)g(x) en el punto fijo. Comprueba ∣g′∣<1|g'| < 1 antes de iterar.

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Preguntas frecuentes

Métodos híbridos como el de Brent (el fzero de MATLAB o brentq de SciPy): mantienen un intervalo con cambio de signo como la bisección, pero dan pasos de secante o de interpolación cuadrática inversa cuando es seguro. Son tan robustos como la bisección y casi tan rápidos como Newton.
Newton se generaliza: xn+1=xn−J−1(xn) F(xn)\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - J^{-1}(\mathbf{x}_n)\,\mathbf{F}(\mathbf{x}_n), donde JJ es la matriz jacobiana. En cada paso se resuelve un sistema lineal en lugar de invertir JJ. Es como calculan los simuladores de circuitos (SPICE) el punto de trabajo.

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Derivadas paso a paso

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Aplicaciones de Taylor

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Última modificación el 12 de octubre de 2026