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Se tienen unos cuantos datos medidos (la temperatura a cada hora, la curva de un sensor en unos puntos) y se quiere saber qué pasa entre ellos. Interpolar es encontrar una función que pase exactamente por los datos y usarla para estimar los valores intermedios. Es la base de las tablas de vapor, de las curvas de los programas de diseño y de muchos métodos numéricos de integración y derivación.

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Lo que vas a aprender

  • Por qué por n+1n + 1 puntos pasa un único polinomio de grado nn.
  • Cómo construirlo con la fórmula de Lagrange y con las diferencias divididas de Newton.
  • Cuánto error se comete al interpolar.
  • Por qué subir el grado puede empeorar las cosas (fenómeno de Runge).
  • Cómo los splines cúbicos resuelven el problema.

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Fundamentos teóricos

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Existencia y unicidad

Dados n+1n + 1 puntos (x0,y0),…,(xn,yn)(x_0, y_0), \dots, (x_n, y_n) con todos los xix_i distintos, existe un único polinomio pp de grado como mucho nn con p(xi)=yip(x_i) = y_i. Lagrange y Newton son dos formas de escribir el mismo polinomio.

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Forma de Lagrange

p(x)=∑i=0nyi Li(x)Li(x)=∏j≠ix−xjxi−xjp(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i(x) \qquad L_i(x) = \prod_{j \ne i}\frac{x - x_j}{x_i - x_j} Cada LiL_i vale 1 en xix_i y 0 en los demás nodos. Es fácil de escribir, pero si se añade un punto hay que rehacerlo todo.

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Forma de Newton: diferencias divididas

p(x)=f[x0]+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯p(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x - x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x - x_0)(x - x_1) + \cdots con las diferencias divididas: f[xi]=yif[xi,…,xi+k]=f[xi+1,…,xi+k]−f[xi,…,xi+k−1]xi+k−xif[x_i] = y_i \qquad f[x_i, \dots, x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]}{x_{i+k} - x_i} Se organizan en una tabla triangular. Añadir un punto nuevo solo añade un término: no hay que recalcular los anteriores.

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Error de interpolación

Si ff tiene n+1n + 1 derivadas continuas: f(x)−p(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!∏i=0n(x−xi)f(x) - p(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x - x_i) El error es 0 en los nodos y crece entre ellos, sobre todo cerca de los extremos y fuera del intervalo (extrapolar es peligroso).

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Fenómeno de Runge

Con nodos equiespaciados, aumentar el grado no siempre mejora: para f(x)=11+25x2f(x) = \frac{1}{1 + 25x^2} en [−1,1][-1, 1], el polinomio de grado 10 oscila violentamente cerca de los extremos, y el error crece al subir el grado. Dos soluciones:
  • Nodos de Chebyshev: xi=cos⁡(2i+1)π2(n+1)x_i = \cos\frac{(2i+1)\pi}{2(n+1)}, más apretados en los extremos. Hacen el producto ∏(x−xi)\prod(x - x_i) lo más pequeño posible.
  • Interpolación a trozos: polinomios de grado bajo en cada subintervalo.

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Splines cúbicos

En cada intervalo [xi,xi+1][x_i, x_{i+1}] se usa un polinomio de grado 3, y se exige que en los nodos coincidan el valor, la primera y la segunda derivada. Quedan dos condiciones libres: El spline natural es la curva más “suave” que pasa por los puntos: minimiza ∫(S′′)2\int (S'')^2, como una regla flexible de delineante (de ahí el nombre).

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Lagrange con tres puntos

Puntos (0,1)(0, 1), (1,3)(1, 3), (2,7)(2, 7).L0=(x−1)(x−2)2L_0 = \frac{(x-1)(x-2)}{2}, L1=x(x−2)−1L_1 = \frac{x(x-2)}{-1}, L2=x(x−1)2L_2 = \frac{x(x-1)}{2}.p(x)=(x−1)(x−2)2−3x(x−2)+7x(x−1)2=x2+x+1p(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{2} - 3x(x-2) + \frac{7x(x-1)}{2} = x^2 + x + 1.Comprobación: p(0)=1p(0) = 1, p(1)=3p(1) = 3, p(2)=7p(2) = 7.
p(x)=1+2x+1⋅x(x−1)=x2+x+1p(x) = 1 + 2x + 1\cdot x(x-1) = x^2 + x + 1. El mismo polinomio.Si se añade (3,13)(3, 13): la nueva diferencia de orden 3 es 0, así que el polinomio no cambia (los datos son de una parábola).
Una tabla de vapor da la presión de saturación del agua: 2,339 kPa a 20 °C y 4,246 kPa a 30 °C. ¿A 24 °C?Interpolación lineal: p=2,339+4,246−2,33910⋅4=3,102p = 2{,}339 + \frac{4{,}246 - 2{,}339}{10}\cdot 4 = 3{,}102 kPa. El valor real es 2,985 kPa: la curva es convexa y la recta la sobreestima. Con un tercer punto (1,228 kPa a 10 °C) y una parábola, la estimación pasa a 3,006 kPa, mucho más cerca.
Se interpola sen⁡x\operatorname{sen} x en 00, π/4\pi/4 y π/2\pi/2 con una parábola. ¿Error máximo en x=π/8x = \pi/8?∣f′′′∣=∣cos⁡x∣≤1|f'''| = |\cos x| \le 1. ∣E∣≤13!∣π8(π8−π4)(π8−π2)∣=16⋅3π3512≈0,030|E| \le \frac{1}{3!}\left|\frac{\pi}{8}\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4}\right)\left(\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2}\right)\right| = \frac{1}{6}\cdot\frac{3\pi^3}{512} \approx 0{,}030.

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Errores frecuentes

  • Pensar que más puntos siempre es mejor. Con nodos equiespaciados y grado alto aparece el fenómeno de Runge.
  • Extrapolar. Fuera del intervalo de los datos el polinomio puede alejarse mucho de la función.
  • Interpolar datos con ruido. Si los datos son medidas con error, forzar la curva a pasar por ellos amplifica el ruido. Ahí se usa ajuste por mínimos cuadrados (regresión), que no pasa por los puntos.
  • Equivocar el orden en las diferencias divididas. El denominador es la diferencia entre los xx de los extremos del grupo.

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Preguntas frecuentes

Interpolación si los datos son exactos (una tabla, una función conocida en unos puntos) y se quiere pasar por ellos. Regresión si son medidas con ruido y se busca la tendencia.
En las curvas de Bézier y B-splines de los programas de diseño y CAD, en las fuentes tipográficas, en las trayectorias de robots y en la animación por ordenador.

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Temas relacionados

Regresión lineal

Ajustar una recta a datos con ruido.

Integración numérica

Integrar el polinomio interpolador.

Factorizar polinomios

Operaciones con polinomios.
Última modificación el 12 de octubre de 2026