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Muchas integrales no tienen primitiva elemental: ∫e−x2dx\int e^{-x^2}dx, ∫sen⁡xxdx\int \frac{\operatorname{sen} x}{x}dx o la longitud de una elipse. Otras veces la función no tiene fórmula, solo una tabla de medidas. La integración numérica aproxima el área sumando las de figuras sencillas (rectángulos, trapecios, parábolas) y permite controlar el error.

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Lo que vas a aprender

  • Las reglas del rectángulo, del trapecio y de Simpson.
  • Las fórmulas compuestas, que dividen el intervalo en muchos trozos.
  • El error de cada regla y cómo depende del número de subintervalos.
  • Cómo mejorar una aproximación con la extrapolación de Richardson.
  • La idea de la cuadratura de Gauss.

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Fundamentos teóricos

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Reglas simples

Se aproxima ff por un polinomio en [a,b][a, b] y se integra el polinomio. Con h=b−ah = b - a:

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Fórmulas compuestas

Se divide [a,b][a, b] en nn subintervalos de anchura h=b−anh = \frac{b - a}{n}, con nodos xi=a+ihx_i = a + ih. Trapecio compuesto: Tn=h(f(x0)2+f(x1)+⋯+f(xn−1)+f(xn)2)T_n = h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right) Simpson compuesto (nn par): Sn=h3(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+⋯+4f(xn−1)+f(xn))S_n = \frac{h}{3}\Big(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big) Los coeficientes son 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1.

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Error

Duplicar nn divide el error del trapecio por 4 y el de Simpson por 16. Simpson es exacta también para cúbicas, aunque use parábolas: es un “regalo” de la simetría. Curiosidad: el error del punto medio es la mitad que el del trapecio y de signo contrario. Por eso S=2M+T3S = \frac{2M + T}{3}, que es exactamente Simpson.

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Extrapolación de Richardson

Si el error del trapecio es ≈Ch2\approx C h^2, combinando TnT_n y T2nT_{2n} se elimina: 4 T2n−Tn3\frac{4\,T_{2n} - T_n}{3} El resultado es igual a S2nS_{2n} y tiene error O(h4)O(h^4). Repitiendo la idea se obtiene el método de Romberg, con orden cada vez mayor.

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Cuadratura de Gauss

En lugar de nodos equiespaciados, se eligen también las posiciones de los nodos para maximizar la precisión. Con nn nodos se integra exactamente cualquier polinomio de grado 2n−12n - 1. En [−1,1][-1, 1]: Para otro intervalo se cambia de variable: x=a+b2+b−a2tx = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Trapecio y Simpson con n = 4

I=∫01e−x2 dx=0,746824…I = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx = 0{,}746824\ldots con h=0,25h = 0{,}25.T4=0,25 (0,5+0,939413+0,778801+0,569783+0,183940)=0,742984T_4 = 0{,}25\,(0{,}5 + 0{,}939413 + 0{,}778801 + 0{,}569783 + 0{,}183940) = 0{,}742984. Error: 3,8⋅10−33{,}8\cdot10^{-3}.S4=0,253(1+4⋅0,939413+2⋅0,778801+4⋅0,569783+0,367879)=0,746855S_4 = \frac{0{,}25}{3}(1 + 4\cdot0{,}939413 + 2\cdot0{,}778801 + 4\cdot0{,}569783 + 0{,}367879) = 0{,}746855. Error: 3⋅10−53\cdot10^{-5}, más de 100 veces menor con los mismos puntos.
¿Qué nn asegura error menor que 10−610^{-6} con el trapecio en ∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx?∣f′′(x)∣=∣(4x2−2)e−x2∣≤2|f''(x)| = |(4x^2 - 2)e^{-x^2}| \le 2 en [0,1][0, 1]. Error ≤1⋅h212⋅2=h26<10−6\le \frac{1 \cdot h^2}{12}\cdot 2 = \frac{h^2}{6} < 10^{-6}.h<0,00245h < 0{,}00245, es decir, n≥409n \ge 409. Con Simpson (∣f(4)∣≤12|f^{(4)}| \le 12) basta n=18n = 18 (el primer par que cumple n≥16,1n \ge 16{,}1).
∫02x3 dx=4\int_0^2 x^3\,dx = 4. Simpson simple con h=2h = 2: 26(0+4⋅1+8)=4\frac{2}{6}(0 + 4\cdot1 + 8) = 4. Exacto.
∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx: con x=1+t2x = \frac{1 + t}{2}, dx=dt2dx = \frac{dt}{2}, los nodos son x=0,211325x = 0{,}211325 y x=0,788675x = 0{,}788675.I≈12(e−0,044658+e−0,622008)=12(0,956324+0,536860)=0,746595I \approx \frac12\left(e^{-0{,}044658} + e^{-0{,}622008}\right) = \frac12(0{,}956324 + 0{,}536860) = 0{,}746595.Con solo dos evaluaciones, error de 2,3⋅10−42{,}3\cdot10^{-4}, mejor que el trapecio con cinco.
Un coche registra su velocidad cada 10 s: 0, 12, 20, 25, 27 m/s. ¿Distancia en 40 s?Simpson con h=10h = 10: 103(0+4⋅12+2⋅20+4⋅25+27)=103⋅215≈717\frac{10}{3}(0 + 4\cdot12 + 2\cdot20 + 4\cdot25 + 27) = \frac{10}{3}\cdot 215 \approx 717 m.

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Errores frecuentes

  • Usar Simpson con un número impar de subintervalos. Necesita nn par; si no, se combina con una regla de 3/8 en el último tramo.
  • Equivocar los pesos. Trapecio: 12,1,1,…,1,12\frac12, 1, 1, \dots, 1, \frac12. Simpson: 1,4,2,4,…,4,11, 4, 2, 4, \dots, 4, 1, todo por h3\frac{h}{3}.
  • Confundir nn subintervalos con nn puntos. Con nn subintervalos hay n+1n + 1 puntos.
  • Integrar funciones con singularidades como 1/x1/\sqrt{x} en 0 sin tratarlas aparte: el error no baja como predice la fórmula.

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Preguntas frecuentes

Cuadratura adaptativa: comparan dos aproximaciones en cada trozo y subdividen solo donde el error es grande. quad de SciPy usa Gauss-Kronrod adaptativo, de la biblioteca QUADPACK.
En dos o tres dimensiones se aplican estas reglas en cada variable. Con muchas dimensiones el número de puntos explota y se usa el método de Montecarlo, cuyo error baja como 1/N1/\sqrt{N} sin importar la dimensión, como en el simulador de estimar π.

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Temas relacionados

Derivada e integral

Sumas de Riemann y el área bajo la curva.

Interpolación

El polinomio que se integra en cada regla.

Estimar π

Integración por Montecarlo.
Última modificación el 12 de octubre de 2026