Las ideas clave del bloque
Error y orden
Un método numérico no da la solución exacta, sino una aproximación. Lo que importa es cuánto se equivoca y cómo baja el error al trabajar más: si al dividir el paso por 2 el error se divide por 4, el método es de orden 2.Iterar
Muchos métodos parten de una aproximación y la mejoran repetidamente: Newton-Raphson para ecuaciones, Jacobi y Gauss-Seidel para sistemas. Hay que saber cuándo convergen y cuándo parar.Aproximar por polinomios
Interpolar es sustituir una función (o una tabla de datos) por un polinomio que pase por los puntos. Integrar numéricamente es integrar ese polinomio. Muchos métodos salen de esta idea, y de Taylor.Estabilidad y condicionamiento
Un problema mal condicionado amplifica los errores de los datos, se use el método que se use. Un método inestable amplifica los errores de redondeo aunque el problema sea bueno. Pivotar en la eliminación de Gauss es un ejemplo de cómo evitarlo.Orden recomendado
1
Ceros de funciones
Bisección, Newton-Raphson, secante y punto fijo.
2
Interpolación
Lagrange, diferencias divididas, Runge y splines.
3
Integración numérica
Trapecio, Simpson, Richardson y Gauss.
4
Sistemas lineales
Gauss con pivoteo, LU, condicionamiento, Jacobi y Gauss-Seidel.
5
Ecuaciones diferenciales
Euler, Heun y Runge-Kutta, en el bloque de modelos.
Temas de este bloque
Ceros de funciones
Métodos numéricos para resolver f(x) = 0: bisección, regula falsi, Newton-Raphson, secante y punto fijo, con su orden de convergencia, criterios de parada, cuándo fallan y tablas de iteraciones resueltas.
Interpolación
Interpolación de datos: polinomio de Lagrange, diferencias divididas de Newton, error de interpolación, fenómeno de Runge, nodos de Chebyshev, interpolación lineal a trozos y splines cúbicos, con ejemplos resueltos.
Integración numérica
Cómo calcular integrales definidas sin primitiva: regla del rectángulo, del trapecio y de Simpson, fórmulas compuestas, error y orden de cada método, extrapolación de Richardson y cuadratura de Gauss, con ejemplos resueltos.
Sistemas lineales
Métodos numéricos para resolver Ax = b: eliminación gaussiana con pivoteo, factorización LU y de Cholesky, coste computacional, número de condición, y métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel con su convergencia, con ejemplos resueltos.
Simuladores relacionados en Simulab
Ecuaciones diferenciales
Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.
Derivada e integral
Las sumas de Riemann se acercan al área exacta.
Calculadora de matrices
Gauss paso a paso con cada operación entre filas.
Estimar π
Integración por Montecarlo.