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Abrir el simulador

Lanza puntos al azar y cuenta cuántos caen dentro del círculo: con suficientes, sale π.
¿Se puede calcular π\pi tirando dardos al azar? Sí. Dibuja un círculo dentro de un cuadrado y lanza puntos sin apuntar. La proporción que cae dentro del círculo se acerca a π/4\pi/4. Es el método de Monte Carlo: usar el azar para calcular cosas que no son aleatorias. Se usa en física, finanzas, gráficos por ordenador e inteligencia artificial.

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Lo que vas a aprender

  • La probabilidad geométrica.
  • Por qué la fracción de puntos dentro estima π/4\pi/4.
  • Cómo disminuye el error con el número de puntos.
  • Ventajas y límites de los métodos de Monte Carlo.

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Cómo se usa el simulador

  • Lanza 1, 10, 100 o 1000 puntos, o activa ▶ Lanzar seguido y ajusta los puntos por segundo. ↺ Borrar vuelve a empezar.
  • Los puntos dentro del círculo se dibujan de un color y los de fuera, de otro.
  • El panel da la cuenta dentro / total, la estimación π≈4⋅dentro/total\pi \approx 4 \cdot \text{dentro}/\text{total}, el error y el error típico esperado.
  • La gráfica Estimación según el número de puntos muestra cómo se acerca a π\pi, con una franja donde cae el 95 % de las veces.

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Fundamentos teóricos

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Probabilidad geométrica

Si un punto cae al azar (con la misma probabilidad en cualquier sitio) en una región, la probabilidad de que caiga en una zona es la proporción de área: P=aˊrea de la zonaaˊrea totalP = \frac{\text{área de la zona}}{\text{área total}}

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El círculo en el cuadrado

Un círculo de radio 1 tiene área π\pi; el cuadrado de lado 2 que lo contiene, 4: P(dentro)=π4⟹π≈4⋅dentrototalP(\text{dentro}) = \frac{\pi}{4} \quad\Longrightarrow\quad \pi \approx 4 \cdot \frac{\text{dentro}}{\text{total}} Un punto (x,y)(x, y) está dentro si x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1.

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¿Cuánto se equivoca?

Por la ley de los grandes números, la proporción se acerca a π/4\pi/4 al aumentar NN. El error típico es: error≈4p(1−p)N≈1,64N\text{error} \approx 4\sqrt{\frac{p(1 - p)}{N}} \approx \frac{1{,}64}{\sqrt N} Baja como 1/N1/\sqrt N: para ganar una cifra decimal hacen falta 100 veces más puntos.

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¿Para qué sirve si es tan lento?

Para calcular π no es eficiente. Pero Monte Carlo brilla en problemas con muchas dimensiones (integrales en 100 variables, simulaciones de partículas, riesgos financieros), donde los métodos clásicos son imposibles: su error sigue bajando como 1/N1/\sqrt N sea cual sea la dimensión.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Diez mil puntos

De 10 000 puntos, 7868 caen dentro: π≈4⋅0,7868=3,1472\pi \approx 4 \cdot 0{,}7868 = 3{,}1472. Error: 0,0056.Error típico esperado: 40,785⋅0,215/10 000=0,0164\sqrt{0{,}785 \cdot 0{,}215/10\,000} = 0{,}016. El resultado está dentro de lo normal.
Para un error típico de 0,001: 1,64/N=0,001⇒N≈2,71{,}64/\sqrt N = 0{,}001 \Rightarrow N \approx 2{,}7 millones de puntos.

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Experimenta con el simulador

1

Uno a uno

Lanza 10 puntos de uno en uno. ¿Cuánto varía la estimación?
2

La franja

Lanza puntos seguidos y observa cómo la estimación entra y se queda en la franja del 95 %.
3

100 veces más

Anota el error con 100 puntos y con 10 000. ¿Se divide aproximadamente entre 10?

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Errores frecuentes

  • Pensar que más puntos siempre dan un valor más cercano. En promedio sí, pero la estimación oscila.
  • Olvidar multiplicar por 4.
  • Esperar que converja rápido: el error baja lentamente.

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Herramientas relacionadas

Tablero de Galton

Azar y campana de Gauss.

Error absoluto y relativo

Medir la calidad de la estimación.

Caminata aleatoria

Otra simulación con azar.
Última modificación el 6 de octubre de 2026