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Nube de puntos, rectas de regresión y coeficiente de correlación, con predicciones.
¿Sacan mejor nota quienes estudian más horas? ¿Se venden más helados cuando hace más calor? Cuando se miden dos variables en los mismos individuos, la nube de puntos muestra si hay relación, el coeficiente de correlación dice cuánto de fuerte es, y la recta de regresión permite predecir una a partir de la otra.

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Lo que vas a aprender

  • Interpretar una nube de puntos.
  • Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación de Pearson.
  • Obtener las dos rectas de regresión.
  • Hacer predicciones y saber cuándo fiarse de ellas.

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Cómo se usa la herramienta

  1. Escribe los puntos (un par x y por línea o separados por punto y coma) y pulsa Calcular, o toca el gráfico para añadir puntos y toca un punto para quitarlo.
  2. Los botones cargan ejemplos: horas de estudio y nota, temperatura y helados, precio y ventas, o datos sin relación.
  3. Verás la recta de y sobre x (y, si quieres, la de x sobre y), el centro de gravedad (xˉ,yˉ)(\bar x, \bar y), rr, r2r^2, la covarianza, la pendiente, medias y desviaciones, y la interpretación de la correlación.
  4. En Predicción, escribe un valor de xx y obtienes y^\hat y, con un aviso si es una extrapolación.

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Fundamentos teóricos

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Covarianza

σxy=∑xiyin−xˉ yˉ\sigma_{xy} = \frac{\sum x_i y_i}{n} - \bar x\,\bar y
  • Positiva: cuando xx crece, yy tiende a crecer.
  • Negativa: cuando xx crece, yy tiende a decrecer.
  • Cerca de 0: no hay relación lineal.

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Coeficiente de correlación de Pearson

r=σxyσx σy−1≤r≤1r = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\,\sigma_y} \qquad -1 \le r \le 1 El signo de rr es el de la covarianza. r=±1r = \pm 1: todos los puntos en una recta.

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Recta de regresión de y sobre x

Es la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales (residuos): y−yˉ=σxyσx2 (x−xˉ)y - \bar y = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\,(x - \bar x) Sirve para predecir yy conociendo xx. La de xx sobre yy (x−xˉ=σxyσy2(y−yˉ)x - \bar x = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}(y - \bar y)) sirve para lo contrario. Las dos pasan por (xˉ,yˉ)(\bar x, \bar y), y cuanto mayor es ∣r∣|r|, más se parecen.

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Coeficiente de determinación

r2r^2 es la proporción de la variación de yy que explica la recta. Con r=0,9r = 0{,}9, r2=81 %r^2 = 81\,\%.

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¿Cuándo fiarse de una predicción?

  • Si ∣r∣|r| es alto.
  • Si el valor de xx está dentro del rango de los datos (interpolación). Fuera (extrapolación), nada garantiza que la tendencia siga.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Cuatro puntos

(1,2)(1, 2), (2,3)(2, 3), (3,5)(3, 5), (4,6)(4, 6).xˉ=2,5\bar x = 2{,}5; yˉ=4\bar y = 4; σx2=30/4−6,25=1,25\sigma_x^2 = 30/4 - 6{,}25 = 1{,}25; σy2=74/4−16=2,5\sigma_y^2 = 74/4 - 16 = 2{,}5; σxy=47/4−10=1,75\sigma_{xy} = 47/4 - 10 = 1{,}75.r=1,75/1,25⋅2,5=0,99r = 1{,}75/\sqrt{1{,}25 \cdot 2{,}5} = 0{,}99. Pendiente 1,75/1,25=1,41{,}75/1{,}25 = 1{,}4: y=0,5+1,4xy = 0{,}5 + 1{,}4x.
Con la recta anterior, para x=3,5x = 3{,}5: y^=0,5+1,4⋅3,5=5,4\hat y = 0{,}5 + 1{,}4 \cdot 3{,}5 = 5{,}4. Es una interpolación fiable (r=0,99r = 0{,}99).

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Errores frecuentes

  • Confundir correlación con causalidad. Que dos cosas crezcan juntas no significa que una cause la otra.
  • Usar la recta de y sobre x para predecir x.
  • Extrapolar muy lejos del rango de los datos.
  • Pensar que r=0r = 0 significa “no hay relación”. Significa que no hay relación lineal; puede haber otra.

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Estadística descriptiva

Una variable.

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Rectas y otras funciones.

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Ajustar el coste de un algoritmo.
Última modificación el 6 de octubre de 2026