Las ideas clave del bloque
Ecuación diferencial
Una ecuación que relaciona una función con sus derivadas, como . Con una condición inicial se elige una solución concreta.Resolución numérica
La mayoría no tiene solución con fórmulas. Los métodos numéricos avanzan paso a paso: Euler (orden 1), Heun (orden 2) y Runge-Kutta 4 (orden 4), mucho más preciso con el mismo paso.Sistemas de ecuaciones
Con varias magnitudes que se influyen, aparecen sistemas:- Lotka-Volterra: presas y depredadores que oscilan alrededor de un equilibrio.
- SIR: susceptibles, infectados y recuperados. El número decide si la epidemia crece.
El plano de fases
Dibujar una variable frente a otra, en lugar de frente al tiempo, revela la estructura del sistema: ciclos, equilibrios y hacia dónde va cada trayectoria.Orden recomendado
1
Ecuaciones diferenciales
Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.
2
Presa y depredador
Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases.
3
Modelo de una epidemia
Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos.
Temas de este bloque
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales de primer orden y′ = f(x, y): campo de direcciones, problema de valor inicial y métodos numéricos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 con su orden y error.
Presa y depredador
Las ecuaciones de Lotka-Volterra explicadas: poblaciones de presas y depredadores que oscilan, punto de equilibrio, plano de fases, capacidad de carga y crecimiento logístico.
Modelo de una epidemia
El modelo SIR explicado: susceptibles, infectados y recuperados, número básico de reproducción R₀, número efectivo Rₜ, pico de contagios, inmunidad de grupo, vacunación y reducción de contactos.
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Ecuaciones diferenciales
Campo de direcciones de y′ = f(x, y) y métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta 4 paso a paso.
Presa y depredador
Conejos y zorros con las ecuaciones de Lotka-Volterra: poblaciones en el tiempo y plano de fases.
Modelo de una epidemia
Cómo crece y se apaga una epidemia según R₀, y qué hacen la vacunación y la reducción de contactos.