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La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales en álgebra. La transformada Z hace lo mismo con las ecuaciones en diferencias, que son las que describen los sistemas que trabajan con muestras: filtros digitales, controladores programados en un microcontrolador o modelos económicos por periodos. Con ella se diseñan los filtros de audio, ecualizadores y canceladores de eco que llevan los móviles.

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Lo que vas a aprender

  • La definición de la transformada Z y su región de convergencia.
  • La tabla básica y la propiedad del retardo.
  • Cómo pasar de una ecuación en diferencias a la función de transferencia H(z)H(z).
  • Polos, ceros y la condición de estabilidad.
  • Cómo obtener la respuesta en frecuencia.
  • La diferencia entre filtros FIR e IIR.

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Fundamentos teóricos

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Definición

Para una secuencia x[n]x[n]: X(z)=∑n=−∞∞x[n] z−nX(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n} con zz complejo. La región de convergencia (ROC) es el conjunto de zz donde la suma converge. Para secuencias causales es el exterior de un círculo, ∣z∣>r|z| > r.

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Tabla y propiedades

El retardo es la clave: retrasar una muestra es multiplicar por z−1z^{-1}. En los diagramas de bloques, z−1z^{-1} es una celda de memoria.

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Ecuación en diferencias y función de transferencia

Un sistema LTI discreto se describe con y[n]=∑k=0Mbk x[n−k]−∑k=1Nak y[n−k]y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k\,x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k\,y[n-k] Transformando con la propiedad del retardo: H(z)=Y(z)X(z)=b0+b1z−1+⋯+bMz−M1+a1z−1+⋯+aNz−NH(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}

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Polos, ceros y estabilidad

Los ceros son las raíces del numerador y los polos, las del denominador (escritos en potencias positivas de zz). Un sistema causal es estable si y solo si todos los polos estaˊn dentro del cıˊrculo unidad: ∣pi∣<1\text{todos los polos están dentro del círculo unidad: } |p_i| < 1 Es el equivalente discreto de “polos en el semiplano izquierdo” de Laplace. Cuanto más cerca del círculo está un polo, más larga y resonante es la respuesta.

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Respuesta en frecuencia

Se evalúa H(z)H(z) sobre el círculo unidad, z=ejΩz = e^{j\Omega}, con Ω=2πf/fs\Omega = 2\pi f/f_s la frecuencia normalizada: H(ejΩ)Ω∈[0,π]H(e^{j\Omega}) \qquad \Omega \in [0, \pi] Ω=0\Omega = 0 es la continua y Ω=π\Omega = \pi es la frecuencia de Nyquist fs/2f_s/2. Geométricamente: un cero cerca del círculo unidad crea un valle a esa frecuencia, y un polo cerca, un pico.

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FIR e IIR

En un FIR, los coeficientes bkb_k son la respuesta al impulso: h[n]=bnh[n] = b_n.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Transformada de una secuencia

x[n]=0,5nu[n]={1; 0,5; 0,25; …}x[n] = 0{,}5^n u[n] = \{1;\ 0{,}5;\ 0{,}25;\ \ldots\}.X(z)=∑n≥0(0,5z−1)n=11−0,5z−1X(z) = \sum_{n\ge0}(0{,}5z^{-1})^n = \frac{1}{1 - 0{,}5z^{-1}}, una serie geométrica que converge si ∣z∣>0,5|z| > 0{,}5.
y[n]=12(x[n]+x[n−1])y[n] = \frac12(x[n] + x[n-1]). H(z)=12(1+z−1)=z+12zH(z) = \frac12(1 + z^{-1}) = \frac{z + 1}{2z}.Cero en z=−1z = -1 (es decir, en Ω=π\Omega = \pi) y polo en z=0z = 0. ∣H(ejΩ)∣=∣cos⁡(Ω/2)∣|H(e^{j\Omega})| = |\cos(\Omega/2)|: vale 1 en continua y 0 en fs/2f_s/2. Es un paso bajo sencillo.
y[n]=0,9 y[n−1]+0,1 x[n]y[n] = 0{,}9\,y[n-1] + 0{,}1\,x[n] (suavizado exponencial).H(z)=0,11−0,9z−1H(z) = \frac{0{,}1}{1 - 0{,}9z^{-1}}. Polo en z=0,9z = 0{,}9: estable. H(1)=0,10,1=1H(1) = \frac{0{,}1}{0{,}1} = 1 (ganancia 1 en continua) y H(−1)=0,11,9=0,053H(-1) = \frac{0{,}1}{1{,}9} = 0{,}053 en Nyquist.Con un solo coeficiente hace lo que un FIR haría con muchos. Es el equivalente digital de un filtro RC.
Con el filtro anterior y x=δx = \delta: y[0]=0,1y[0] = 0{,}1, y[1]=0,09y[1] = 0{,}09, y[2]=0,081y[2] = 0{,}081, … h[n]=0,1⋅0,9nh[n] = 0{,}1\cdot0{,}9^n.Nunca llega exactamente a 0: respuesta al impulso infinita.
y[n]=1,5 y[n−1]−0,5 y[n−2]+x[n]y[n] = 1{,}5\,y[n-1] - 0{,}5\,y[n-2] + x[n]. Denominador: z2−1,5z+0,5=(z−1)(z−0,5)z^2 - 1{,}5z + 0{,}5 = (z - 1)(z - 0{,}5).Polo en z=1z = 1, sobre el círculo unidad: marginalmente estable. Ante un escalón, la salida crece sin límite.
Con fs=1000f_s = 1000 Hz, los 50 Hz están en Ω=2π⋅50/1000=π/10\Omega = 2\pi\cdot50/1000 = \pi/10. Se ponen ceros en e±jπ/10e^{\pm j\pi/10}:H(z)=1−2cos⁡(π/10) z−1+z−2=1−1,902 z−1+z−2H(z) = 1 - 2\cos(\pi/10)\,z^{-1} + z^{-2} = 1 - 1{,}902\,z^{-1} + z^{-2}.Este FIR anula exactamente los 50 Hz. Añadiendo polos justo dentro del círculo, en 0,95 e±jπ/100{,}95\,e^{\pm j\pi/10}, se obtiene un notch IIR mucho más estrecho que no afecta a las frecuencias vecinas.

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Errores frecuentes

  • Confundir z−1z^{-1} con 1/z1/z en la ecuación. Es lo mismo matemáticamente, pero al buscar polos y ceros hay que escribir el cociente en potencias positivas de zz.
  • Olvidar la ROC. La misma X(z)X(z) puede corresponder a una secuencia causal o anticausal según la región de convergencia.
  • Diseñar un IIR sin comprobar los polos. Con coeficientes redondeados, un polo cerca del círculo puede salirse.
  • Usar Ω en hercios. Ω está en radianes por muestra: Ω=2πf/fs\Omega = 2\pi f/f_s.

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Preguntas frecuentes

Con la transformación bilineal, s=2Ts1−z−11+z−1s = \frac{2}{T_s}\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}, que lleva el semiplano izquierdo de ss al interior del círculo unidad (conserva la estabilidad). Comprime el eje de frecuencias, así que hay que “predistorsionar” la frecuencia de corte.
z=esTsz = e^{sT_s}. El eje imaginario s=jωs = j\omega se convierte en el círculo unidad, y el semiplano izquierdo, en su interior. Por eso las reglas de estabilidad se corresponden.

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Temas relacionados

Transformada de Laplace

El equivalente en tiempo continuo.

Convolución y sistemas LTI

Respuesta al impulso.

Muestreo y Nyquist

De dónde salen las muestras.
Última modificación el 12 de octubre de 2026