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Un amplificador, un filtro, la acústica de una sala o el canal de una red wifi transforman una señal de entrada en otra de salida. Si el sistema es lineal e invariante en el tiempo (LTI), basta con saber cómo responde a un único golpe, un impulso, para predecir su respuesta a cualquier señal. La operación que lo hace es la convolución, y es la idea central de la asignatura de señales y sistemas.

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Lo que vas a aprender

  • Las propiedades que puede tener un sistema: linealidad, invariancia, causalidad, memoria y estabilidad.
  • Qué es la respuesta al impulso y por qué caracteriza a un sistema LTI.
  • Cómo calcular una convolución discreta y una continua.
  • Las propiedades de la convolución.
  • La relación con la respuesta en frecuencia.

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Fundamentos teóricos

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Propiedades de un sistema

Una resistencia es LTI y sin memoria; un circuito RC es LTI con memoria; un amplificador que se satura no es lineal; una línea cuyo retardo cambia con la temperatura no es invariante.

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Respuesta al impulso

Es la salida h(t)h(t) (o h[n]h[n]) cuando la entrada es un impulso: la delta de Dirac δ(t)\delta(t) en tiempo continuo o δ[n]\delta[n] (un 1 en n=0n = 0 y 0 en el resto) en tiempo discreto. Cualquier señal discreta es una suma de impulsos desplazados y escalados: x[n]=∑kx[k] δ[n−k]x[n] = \sum_k x[k]\,\delta[n - k]. Por linealidad e invariancia, la salida es la suma de las respuestas a cada uno.

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Convolución

y[n]=(x∗h)[n]=∑k=−∞∞x[k] h[n−k]y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n - k] y(t)=(x∗h)(t)=∫−∞∞x(τ) h(t−τ) dτy(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t - \tau)\,d\tau Cómo se calcula (método gráfico):
  1. Dibuja x(τ)x(\tau) y h(τ)h(\tau) en función de la variable auxiliar τ\tau.
  2. Refleja hh: h(−τ)h(-\tau).
  3. Desplaza tt unidades: h(t−τ)h(t - \tau).
  4. Multiplica por x(τ)x(\tau) e integra (o suma).
  5. Repite para cada tt.
Para señales discretas finitas, la convolución es como la multiplicación de polinomios: si xx tiene NN muestras y hh tiene MM, yy tiene N+M−1N + M - 1.

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Propiedades de la convolución

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Causalidad y estabilidad desde h

  • Causal si y solo si h(t)=0h(t) = 0 para t<0t < 0.
  • Estable si y solo si ∫−∞∞∣h(t)∣ dt<∞\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|\,dt < \infty (o ∑∣h[n]∣<∞\sum|h[n]| < \infty).

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Teorema de convolución

y=x∗h⟺Y(ω)=X(ω) H(ω)y = x * h \quad\Longleftrightarrow\quad Y(\omega) = X(\omega)\,H(\omega) La convolución en el tiempo es un producto en frecuencia. H(ω)H(\omega), la transformada de Fourier de h(t)h(t), es la respuesta en frecuencia: dice cuánto amplifica y desfasa el sistema cada frecuencia. Por eso a un sistema LTI le entra una senoide y le sale la misma senoide, solo escalada y desfasada.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Convolución discreta

x[n]={1,2,3}x[n] = \{1, 2, 3\} y h[n]={1,1}h[n] = \{1, 1\}, empezando en n=0n = 0.Como un producto de polinomios: (1+2z+3z2)(1+z)=1+3z+5z2+3z3(1 + 2z + 3z^2)(1 + z) = 1 + 3z + 5z^2 + 3z^3.y[n]={1,3,5,3}y[n] = \{1, 3, 5, 3\}: 3+2−1=43 + 2 - 1 = 4 muestras. Este hh suma cada muestra con la anterior.
Un filtro de media móvil de 3 puntos tiene h[n]={13,13,13}h[n] = \{\frac13, \frac13, \frac13\}.Con x={3,6,9,12}x = \{3, 6, 9, 12\}: y={1,3,6,9,7,4}y = \{1, 3, 6, 9, 7, 4\}. En la zona central da la media de 3 muestras seguidas; en los extremos, el efecto de entrar y salir. Suaviza el ruido de un sensor.
Un circuito RC tiene h(t)=1τe−t/τu(t)h(t) = \frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}u(t). Entrada: escalón u(t)u(t).Para t>0t > 0: y(t)=∫0t1τe−(t−s)/τ ds=1−e−t/τy(t) = \int_0^t \frac{1}{\tau}e^{-(t - s)/\tau}\,ds = 1 - e^{-t/\tau}.Es la carga del condensador, obtenida sin plantear la ecuación diferencial.
x(t)=h(t)=1x(t) = h(t) = 1 en [0,1][0, 1] y 0 fuera.Al desplazar uno sobre otro, el solape crece linealmente de 0 a 1 (en t∈[0,1]t \in [0, 1]) y decrece de 1 a 0 (en t∈[1,2]t \in [1, 2]). El resultado es un triángulo de base [0,2][0, 2] y altura 1.
  • y(t)=3x(t−2)y(t) = 3x(t - 2): lineal, invariante, causal, con memoria.
  • y(t)=x(t)2y(t) = x(t)^2: no lineal.
  • y(t)=t x(t)y(t) = t\,x(t): lineal, pero no invariante (el factor depende del instante).
  • y[n]=x[n+1]y[n] = x[n + 1]: no causal; necesita la muestra siguiente.

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Errores frecuentes

  • Olvidar reflejar hh. Sin la reflexión es una correlación, no una convolución.
  • Poner mal los límites de la integral: dependen de dónde se solapan las dos señales para cada tt, y cambian por tramos.
  • Contar mal la longitud de la convolución discreta: N+M−1N + M - 1.
  • Aplicar la convolución a sistemas no lineales. Solo vale para sistemas LTI.

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Preguntas frecuentes

Con la FFT: se transforman las dos señales, se multiplican y se vuelve atrás. Para NN muestras cuesta O(Nlog⁡N)O(N\log N) en lugar de O(N2)O(N^2). Es como se aplican en tiempo real las reverberaciones de salas reales a las grabaciones (reverb por convolución).
En estadística, la distribución de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones. En imagen, los filtros de desenfoque y de detección de bordes son convoluciones en 2D, y son la operación básica de las redes neuronales convolucionales.

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El teorema de convolución.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026