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Abrir el simulador

Cuatro cuentas bajan de A a B por una recta, un arco, una curva empinada y una cicloide: mira cuál gana.
Imagina un tobogán que va de un punto A a otro B más bajo y no justo debajo. ¿Qué forma debe tener para que una bola, deslizándose sin rozamiento, llegue lo antes posible? La intuición dice “una recta, que es el camino más corto”. Pues no. Este problema, la braquistócrona (“tiempo más corto” en griego), lo planteó Johann Bernoulli en 1696 como un reto a los mejores matemáticos de Europa, y su solución dio origen a una rama entera de las matemáticas: el cálculo de variaciones.

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Lo que vas a aprender

  • Por qué el camino más corto no es el más rápido.
  • Cómo calcular la velocidad en cada punto con la conservación de la energía.
  • Qué es una cicloide y sus propiedades: braquistócrona y tautócrona.
  • La conexión con la refracción de la luz y el principio de Fermat.

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Cómo se usa el simulador

  • Cuatro cuentas salen a la vez de A por cuatro caminos: cicloide, curva empinada, arco de circunferencia y recta.
  • El marcador muestra el tiempo de cada una y cuánto tarda de más respecto a la ganadora, en porcentaje.
  • El panel resume quién gana, el tiempo por la cicloide, el tiempo por la recta y el ahorro frente a la recta.
  • ↺ Salida repite la carrera y ❚❚ Pausar la congela.

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Fundamentos teóricos

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La velocidad solo depende de lo que se ha bajado

Sin rozamiento, la energía mecánica se conserva. Si la cuenta sale del reposo y ha descendido una altura hh: 12mv2=mgh⟹v=2gh\tfrac12 m v^2 = m g h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2 g h} La velocidad en cada punto no depende del camino, solo de cuánto se ha bajado. Todas las cuentas llegan a B con la misma rapidez. Lo que cambia es cuánto tardan, porque cada camino reparte la bajada de forma distinta.

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El tiempo de recorrido

El tiempo es la suma de cada tramito dsds dividido entre la velocidad con que se recorre: T=∫ABdsv=∫ABds2ghT = \int_A^B \frac{ds}{v} = \int_A^B \frac{ds}{\sqrt{2 g h}} Aquí está la clave del problema:
  • Un camino que baja mucho al principio gana velocidad pronto y recorre el resto deprisa, aunque sea más largo.
  • Un camino demasiado empinado gana velocidad, pero es tan largo que el recorrido extra ya no compensa.
  • La recta es la más corta, pero la cuenta acelera poco a poco durante todo el camino.
El óptimo está en un equilibrio entre ganar velocidad pronto y no alargar demasiado el recorrido.

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La recta, calculada

Para una rampa recta de longitud LL y desnivel HH, la aceleración es constante, a=gsin⁡α=gH/La = g\sin\alpha = gH/L, y la cuenta parte del reposo: L=12a t2⟹trecta=2Lgsin⁡α=L2gHL = \tfrac12 a\, t^2 \quad\Longrightarrow\quad t_{\text{recta}} = \sqrt{\frac{2L}{g\sin\alpha}} = L\sqrt{\frac{2}{gH}}

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La solución: la cicloide

La cicloide es la curva que dibuja un punto del borde de una rueda de radio rr que rueda sin deslizar. Puesta boca abajo, sus ecuaciones paramétricas (con el eje yy hacia abajo) son: x=r(φ−sin⁡φ)y=r(1−cos⁡φ)x = r(\varphi - \sin\varphi) \qquad y = r(1 - \cos\varphi) Bernoulli demostró que la braquistócrona entre A y B es siempre un arco de cicloide que sale de A en vertical. El radio rr de la rueda se ajusta para que la curva pase por B. Si B es el punto más bajo de la cicloide (φ=π\varphi = \pi), el tiempo es: T=πrgT = \pi\sqrt{\frac{r}{g}}

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La tautócrona

La cicloide tiene otra propiedad sorprendente, descubierta por Christiaan Huygens en 1659: es tautócrona (“mismo tiempo”). Una cuenta soltada desde cualquier punto de un cuenco con forma de cicloide tarda lo mismo en llegar al fondo, πr/g\pi\sqrt{r/g}. Huygens la usó para diseñar relojes de péndulo cuyo periodo no dependiera de la amplitud.

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La analogía con la luz

Bernoulli resolvió el problema con una idea genial: la luz también sigue el camino de tiempo mínimo (principio de Fermat), y al pasar a un medio donde va más rápida se dobla según la ley de Snell. Imaginó la caída como luz atravesando capas en las que la velocidad crece como 2gh\sqrt{2gh}, aplicó Snell capa a capa y obtuvo la cicloide.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · La rampa recta

¿Cuánto tarda una cuenta en bajar sin rozamiento por una rampa recta hasta un punto B situado 3 m más lejos y 2 m más abajo?Longitud: L=32+22=3,606L = \sqrt{3^2 + 2^2} = 3{,}606 m; sin⁡α=2/3,606=0,555\sin\alpha = 2/3{,}606 = 0{,}555.Aceleración: a=9,81⋅0,555=5,44a = 9{,}81 \cdot 0{,}555 = 5{,}44 m/s².Tiempo: t=2⋅3,606/5,44=1,151t = \sqrt{2 \cdot 3{,}606 / 5{,}44} = 1{,}151 s.Por la cicloide entre los mismos puntos tarda unos 0,98 s, casi un 15 % menos. Son los valores iniciales del simulador.
Una cicloide generada por una rueda de radio r=1r = 1 m. B es su punto más bajo: πr=3,14\pi r = 3{,}14 m más lejos y 2r=22r = 2 m más abajo. Compara la cicloide con la recta.Cicloide: T=π1/9,81=1,003T = \pi\sqrt{1/9{,}81} = 1{,}003 s.Recta: L=π2+4=3,724L = \sqrt{\pi^2 + 4} = 3{,}724 m; t=L2/(gH)=3,724⋅2/19,62=1,189t = L\sqrt{2/(gH)} = 3{,}724 \cdot \sqrt{2/19{,}62} = 1{,}189 s.La recta tarda un 18,5 % más.
¿Con qué velocidad llegan a B las cuatro cuentas del ejemplo 1?Todas han bajado 2 m: v=2⋅9,81⋅2=6,26v = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 2} = 6{,}26 m/s. La misma para todas, aunque lleguen en momentos distintos.

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Experimenta con el simulador

1

Siempre gana la cicloide

Prueba varias combinaciones de distancia y desnivel. ¿Gana siempre la cicloide? ¿En qué casos la recta queda más cerca?
2

B casi debajo de A

Pon la distancia horizontal en 1 m y el desnivel en 4 m. ¿Qué forma tiene ahora la cicloide? ¿Cuánto ahorra frente a la recta?
3

B lejos y poco más bajo

Pon 6 m de distancia y 0,5 m de desnivel. La cicloide baja por debajo de B y luego sube: ¿por qué compensa?
4

La curva empinada

Observa la curva empinada: ¿en qué tramo va más rápida que la cicloide? ¿Por qué pierde al final?

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Errores frecuentes

  • Pensar que el camino más corto es el más rápido. Lo que se minimiza es el tiempo, no la distancia.
  • Creer que la cuenta más rápida llega con más velocidad. Todas llegan con v=2gHv = \sqrt{2gH}.
  • Pensar que la masa influye. Sin rozamiento, la velocidad en cada punto no depende de la masa.

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Preguntas frecuentes

La curva que dibuja un punto del borde de una rueda cuando rueda sin deslizar por una superficie plana. Puesta del revés, con forma de cuenco, es la braquistócrona.
Johann Bernoulli lo propuso en 1696. Lo resolvieron él mismo, su hermano Jakob, Leibniz, l’Hôpital y Newton, que envió su solución de forma anónima. Al verla, Bernoulli dijo reconocer “al león por su garra”.
No exactamente. Con rozamiento la curva óptima cambia, aunque se parece mucho. El problema clásico supone que no hay rozamiento.

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Simuladores relacionados

Energía mecánica

La conservación de la energía en una montaña rusa.

Refracción de la luz

La ley de Snell que inspiró la solución de Bernoulli.

Péndulo esférico

Otro problema clásico de la mecánica.
Última modificación el 6 de octubre de 2026