Movimiento circular: MCU y MCUA con fórmulas y ejemplos

Las ruedas de una bicicleta, las aspas de un ventilador, un tiovivo, el tambor de una lavadora o un satélite en órbita giran alrededor de un eje. Para describirlos no basta con la velocidad en metros por segundo: hace falta medir cuánto gira el objeto. Aparecen así las magnitudes angulares y una aceleración muy especial, la centrípeta, que existe aunque la rapidez no cambie.

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Lo que vas a aprender

• Medir ángulos en radianes y pasar de rpm a rad/s.
• Relacionar velocidad angular y velocidad lineal: $v = \omega R$.
• Calcular el periodo, la frecuencia y el número de vueltas.
• Entender por qué en un MCU hay aceleración aunque la rapidez sea constante.
• Resolver problemas de MCUA: arranques y frenados de motores y ruedas.

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Cómo se usa el simulador

• Sobre la partícula se dibujan la velocidad $\vec v$, siempre tangente, y la aceleración centrípeta $\vec a_c$, hacia el centro; en el MCUA aparece también la tangencial.
• La gráfica de la derecha muestra el ángulo girado φ(t): una recta en el MCU y una parábola en el MCUA.
• El panel de datos da $\omega$ en rad/s y en rpm, el periodo $T$, la frecuencia $f$, $v = \omega r$, $a_c = \omega^2 r$, el ángulo $\varphi$ y las vueltas dadas.
• Con ❚❚ Pausar congelas el movimiento y con ↺ t = 0 vuelves al principio.

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Fundamentos teóricos

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Magnitudes angulares

La posición de un punto que gira se describe con el ángulo $\theta$ que forma su radio con una dirección fija. En física se mide en radianes: un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Una vuelta completa son $2\pi$ rad. $$s = \theta\,R$$ donde $s$ es la longitud del arco recorrido. Esta relación solo vale con $\theta$ en radianes. La velocidad angular es lo que gira el radio por unidad de tiempo, y la aceleración angular, cómo cambia esa velocidad: $$\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \;(\text{rad/s}) \qquad \alpha = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} \;(\text{rad/s}^2)$$ Para pasar de revoluciones por minuto a rad/s: $\omega = \text{rpm} \cdot \dfrac{2\pi}{60}$.

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Relación entre magnitudes lineales y angulares

Todos los puntos de un disco rígido giran con la misma $\omega$, pero los que están más lejos del eje recorren más camino: $$v = \omega\,R \qquad a_t = \alpha\,R$$

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Movimiento circular uniforme (MCU)

La velocidad angular es constante: $$\theta = \theta_0 + \omega\,t$$ Como el movimiento se repite, se definen: $$T = \frac{2\pi}{\omega} \;(\text{s}) \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \;(\text{Hz})$$ El periodo $T$ es el tiempo de una vuelta; la frecuencia $f$, las vueltas por segundo.

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La aceleración centrípeta

En un MCU la rapidez no cambia, pero la dirección de la velocidad sí: siempre es tangente a la circunferencia. Un cambio de dirección del vector velocidad es una aceleración. Apunta hacia el centro y vale: $$a_c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$ Sin ella, el objeto seguiría en línea recta (primera ley de Newton). En un coche que toma una curva la proporciona el rozamiento de las ruedas; en un satélite, la gravedad; en una piedra atada a una cuerda, la tensión.

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Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

Con aceleración angular constante, las ecuaciones son las del MRUA cambiando $x \to \theta$, $v \to \omega$, $a \to \alpha$: $$\omega = \omega_0 + \alpha\,t \qquad \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \tfrac12\alpha\,t^2 \qquad \omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\,\Delta\theta$$ Ahora la aceleración tiene dos componentes perpendiculares: $$a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$$ La tangencial es constante, pero la centrípeta crece con $\omega^2$: el vector aceleración total se va inclinando hacia el centro a medida que el objeto gira más rápido.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Usar grados o vueltas en $v = \omega R$ o en $s = \theta R$. Las fórmulas solo valen en radianes.
• Decir que en el MCU no hay aceleración. Hay aceleración centrípeta; lo que no hay es aceleración tangencial.
• Hablar de “fuerza centrífuga” como si empujara el objeto hacia fuera. Visto desde fuera, lo que hay es una fuerza hacia el centro; lo que sale “despedido” sigue en línea recta al desaparecer esa fuerza.
• Confundir rpm con rad/s o con Hz: 60 rpm = 1 Hz = $2\pi$ rad/s.

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Preguntas frecuentes

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