MRU y MRUA: fórmulas, gráficas y problemas de encuentro

Un coche que circula por la autopista a velocidad constante, un tren que arranca o una moto que frena ante un semáforo se mueven en línea recta. Son los movimientos más sencillos de la física, pero ya contienen las ideas clave de la cinemática: posición, velocidad, aceleración y sus gráficas. Dominarlos es imprescindible, porque el tiro parabólico, la caída libre o el movimiento circular se construyen a partir de ellos.

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Lo que vas a aprender

• Qué son la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, y por qué llevan signo.
• Las ecuaciones del MRU y del MRUA y cuándo usar cada una.
• Leer e interpretar las gráficas $x(t)$ y $v(t)$: pendientes y áreas.
• Resolver problemas de encuentro y de persecución de dos móviles.
• Calcular tiempos y distancias de frenado.

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Cómo se usa el simulador

El simulador muestra una carretera con dos móviles, A y B. Para cada uno puedes elegir:

• Debajo de la carretera se dibujan las gráficas $x(t)$ y $v(t)$ de los dos móviles a la vez.
• El panel muestra $x_A$, $x_B$, $v_A$, $v_B$, la distancia entre ellos y, si se cruzan, el instante y la posición del encuentro.
• Los botones Se cruzan, Persecución y Frenada cargan tres situaciones típicas.
• Un móvil que frena se queda parado al llegar a $v = 0$, como un coche de verdad: no da marcha atrás.

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Fundamentos teóricos

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Sistema de referencia y signos

Para describir un movimiento rectilíneo elegimos un origen y un sentido positivo sobre la recta. La posición $x$ es la coordenada del móvil: puede ser negativa si está a la izquierda del origen. La velocidad y la aceleración también tienen signo:

• $v > 0$: el móvil avanza en el sentido positivo; $v < 0$: retrocede.
• $a$ con el mismo signo que $v$: el móvil acelera (su rapidez aumenta).
• $a$ con signo contrario a $v$: el móvil frena.

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Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

La velocidad es constante y la aceleración es nula: $$x = x_0 + v\,t \qquad v = \text{constante} \qquad a = 0$$

• La gráfica $x(t)$ es una recta cuya pendiente es la velocidad.
• La gráfica $v(t)$ es una recta horizontal; el área bajo ella es el desplazamiento.

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Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)

La aceleración es constante: $$v = v_0 + a\,t \qquad x = x_0 + v_0\,t + \tfrac12 a\,t^2$$ Eliminando el tiempo entre ambas se obtiene una tercera ecuación muy útil cuando no conoces $t$: $$v^2 = v_0^2 + 2a\,(x - x_0)$$

• La gráfica $x(t)$ es una parábola: abierta hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$.
• La gráfica $v(t)$ es una recta de pendiente $a$.
• La gráfica $a(t)$ es una recta horizontal.

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Lo que dicen las gráficas

El punto en el que la gráfica $x(t)$ de un MRUA tiene la tangente horizontal es el instante en el que el móvil se para y da la vuelta ($v = 0$).

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Desplazamiento y distancia recorrida

El desplazamiento es $\Delta x = x - x_0$. La distancia recorrida es la longitud total del camino. Solo coinciden si el móvil no cambia de sentido. Si en un MRUA la velocidad cambia de signo, hay que calcular por separado el tramo de ida y el de vuelta.

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Problemas de encuentro

Dos móviles se encuentran cuando están en la misma posición en el mismo instante: $$x_A(t) = x_B(t)$$ El método es siempre el mismo:

1. Elige un único origen de posiciones y de tiempos para los dos.
2. Escribe la ecuación de posición de cada móvil, con sus signos.
3. Iguala las dos posiciones y despeja $t$.
4. Sustituye $t$ en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el lugar del encuentro.

Si el que sale más tarde empieza a moverse en $t_1$, en su ecuación aparece $(t - t_1)$ en lugar de $t$.

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Frenado

Un vehículo que frena con deceleración constante $a$ desde $v_0$ hasta pararse tarda y recorre: $$t_f = \frac{v_0}{|a|} \qquad d_f = \frac{v_0^2}{2|a|}$$ La distancia de frenado crece con el cuadrado de la velocidad: a doble velocidad, cuádruple distancia.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Mezclar unidades. Pasa siempre los km/h a m/s (divide entre 3,6) antes de operar.
• Usar orígenes distintos para cada móvil en un problema de encuentro. Las dos ecuaciones deben referirse al mismo origen y al mismo reloj.
• Olvidar el signo de la velocidad del móvil que va en sentido contrario.
• Pensar que aceleración negativa es frenar. Depende del signo de la velocidad.
• Confundir desplazamiento con distancia cuando el móvil da la vuelta.
• Quedarse con un tiempo negativo al resolver la ecuación de segundo grado: no tiene sentido físico.

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Preguntas frecuentes

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