Tiro parabólico: fórmulas, alcance y ejemplos resueltos

Un balón que se chuta, el agua de una manguera, una bala de cañón o una pelota de baloncesto camino de la canasta: todos describen la misma curva, una parábola. El tiro parabólico es el ejemplo clásico de movimiento en dos dimensiones y la mejor forma de entender una idea que se usa en toda la física: un movimiento complicado se puede descomponer en movimientos sencillos e independientes.

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Lo que vas a aprender

• Por qué la trayectoria de un proyectil es una parábola.
• Cómo separar el movimiento en un MRU horizontal y un MRUA vertical.
• Calcular el tiempo de vuelo, la altura máxima, el alcance y la velocidad de impacto.
• Por qué 45° da el máximo alcance (solo si se lanza desde el suelo) y por qué los ángulos complementarios llegan igual de lejos.
• Cómo cambia todo al cambiar de planeta.

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Cómo se usa el simulador

• ▶ Lanzar anima el vuelo en tiempo real; puedes pausarlo y moverte con el deslizador de tiempo.
• 📌 Fijar trayectoria deja dibujada la curva actual para compararla con otras (hasta tres).
• Las flechas sobre el proyectil son las componentes de la velocidad: $v_x$ (constante) y $v_y$ (cambia con el tiempo).
• El panel Resultados da el alcance, la altura máxima, el tiempo de vuelo y la velocidad de impacto.

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Fundamentos teóricos

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Hipótesis del modelo

El simulador, como los problemas de clase, usa el modelo ideal:

1. No hay rozamiento con el aire. La única fuerza es el peso.
2. La gravedad es constante: mismo valor y misma dirección (vertical, hacia abajo) en toda la trayectoria. Es válido mientras la altura sea pequeña comparada con el radio del planeta.
3. El proyectil es una partícula: no importan su forma, su tamaño ni si gira.

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Descomposición del movimiento

Colocamos el origen en el suelo, justo debajo del punto de lanzamiento, con el eje $x$ horizontal y el eje $y$ vertical hacia arriba. La velocidad inicial forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, así que sus componentes son: $$v_{0x} = v_0 \cos\theta \qquad v_{0y} = v_0 \sin\theta$$ La aceleración es la de la gravedad, solo vertical: $\vec a = (0,\,-g)$. Como en el eje $x$ no hay aceleración y en el eje $y$ sí, el movimiento se separa en dos: Los dos movimientos ocurren a la vez y están unidos solo por el tiempo $t$, que es el mismo para ambos. Es el principio de independencia de movimientos, que ya enunció Galileo.

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Ecuación de la trayectoria

Para obtener la forma de la curva eliminamos el tiempo. De la ecuación horizontal, $t = \dfrac{x}{v_0\cos\theta}$. Sustituyendo en la vertical: $$y = h_0 + x\tan\theta - \frac{g}{2\,v_0^2\cos^2\theta}\,x^2$$ Es de la forma $y = a + bx - cx^2$ con $c > 0$: una parábola con las ramas hacia abajo. Por eso el movimiento se llama parabólico.

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Altura máxima

En el punto más alto la velocidad vertical se anula ($v_y = 0$), aunque la horizontal sigue siendo $v_0\cos\theta$. El proyectil nunca está parado en el vértice, salvo en el lanzamiento vertical. $$t_{\text{máx}} = \frac{v_0\sin\theta}{g} \qquad\Longrightarrow\qquad y_{\text{máx}} = h_0 + \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

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Tiempo de vuelo

El proyectil llega al suelo cuando $y = 0$: $$h_0 + v_0\sin\theta\; t - \tfrac12 g t^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_v = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2 g h_0}}{g}$$ De las dos soluciones de la ecuación de segundo grado nos quedamos con la positiva (la negativa correspondería a un instante anterior al lanzamiento). Si se lanza desde el suelo ($h_0 = 0$) queda simplemente: $$t_v = \frac{2\,v_0\sin\theta}{g} = 2\,t_{\text{máx}}$$ es decir, sube y baja en el mismo tiempo: la parábola es simétrica.

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Alcance

El alcance es la distancia horizontal recorrida durante el vuelo: $x_{\text{máx}} = v_0\cos\theta \cdot t_v$. Desde el suelo: $$x_{\text{máx}} = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$ Esta fórmula esconde dos resultados famosos:

• El alcance es máximo a 45°, porque $\sin 2\theta$ vale como mucho 1, cuando $2\theta = 90°$.
• Los ángulos complementarios dan el mismo alcance: $\sin(2\cdot 30°) = \sin(2\cdot 60°)$, así que lanzar a 30° o a 60° llega igual de lejos. El de 60° sube más y tarda más; el de 30° va más rasante y llega antes.

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Velocidad en cualquier instante y velocidad de impacto

La velocidad es tangente a la trayectoria y su módulo es: $$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}, \qquad \tan\varphi = \frac{v_y}{v_x}$$ donde $\varphi$ es el ángulo con la horizontal (positivo al subir, negativo al bajar). La velocidad de impacto se puede obtener sustituyendo $t_v$, o de forma más directa con la conservación de la energía: $$v_{\text{impacto}} = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}$$ Fíjate en que no depende del ángulo: con la misma velocidad inicial y desde la misma altura, el proyectil llega al suelo con la misma rapidez lo lances como lo lances (aunque con distinta dirección).

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Visión energética

Sin rozamiento la energía mecánica se conserva: $$\tfrac12 m v_0^2 + m g h_0 = \tfrac12 m v^2 + m g y$$ Mientras sube, la energía cinética se convierte en potencial; mientras baja, al revés. Pero la energía cinética nunca llega a cero (salvo en el tiro vertical), porque la parte asociada a $v_x$ no cambia en todo el vuelo.

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Otros planetas

Todas las fórmulas llevan $g$ en el denominador, así que con la misma $v_0$ y el mismo ángulo: Lanzado desde el suelo, el alcance, la altura máxima y el tiempo de vuelo son inversamente proporcionales a $g$: en la Luna todo es unas seis veces mayor. La forma de la parábola se conserva; solo cambia la escala.

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Casos particulares

• Tiro horizontal ($\theta = 0°$, $h_0 > 0$): sale con $v_y = 0$. Tiempo de caída $t = \sqrt{2h_0/g}$, el mismo que si se dejara caer: la velocidad horizontal no hace que caiga más despacio.
• Tiro vertical ($\theta = 90°$): $v_x = 0$, es un MRUA en línea recta. Alcance cero.
• Tiro desde el suelo ($h_0 = 0$): trayectoria simétrica, valen las fórmulas simplificadas.

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Ejemplos resueltos

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Experimenta con el simulador

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Errores frecuentes

• Decir que en el punto más alto la velocidad es cero. Solo se anula $v_y$; $v_x$ sigue igual.
• Usar $v_0$ en vez de sus componentes. En el eje $x$ va $v_0\cos\theta$ y en el $y$, $v_0\sin\theta$; nunca $v_0$ sola.
• Aplicar $x = v_0^2\sin 2\theta / g$ cuando se lanza desde una altura. Esa fórmula solo vale si el proyectil cae a la misma altura de la que salió.
• Olvidar el signo de la gravedad. Con el eje $y$ hacia arriba, $a_y = -g$.
• Quedarse con la raíz negativa del tiempo de vuelo, o mezclar grados y radianes en la calculadora.

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Limitaciones del modelo

En la realidad el aire frena al proyectil con una fuerza que crece con la velocidad (aproximadamente con su cuadrado). El efecto es pequeño para objetos pesados y lentos, pero enorme para un balón de fútbol, una pelota de golf o una bala:

• La trayectoria deja de ser simétrica: la bajada es más inclinada que la subida.
• El alcance real es menor, y el ángulo óptimo baja de 45°.
• El giro del objeto (efecto Magnus) curva la trayectoria: es lo que hace un balón con “efecto”.

El modelo sin aire describe muy bien lanzamientos cortos de objetos compactos, y perfectamente cualquier lanzamiento en la Luna.

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Un poco de historia

Durante siglos se pensó, siguiendo a Aristóteles, que un proyectil avanzaba en línea recta hasta “agotar su ímpetu” y luego caía en vertical. Galileo Galilei, en sus Discursos sobre dos nuevas ciencias (1638), demostró que la trayectoria es una parábola combinando un movimiento horizontal uniforme con una caída acelerada. Fue una de las primeras veces en que se usaron las matemáticas para describir con precisión un movimiento real, y la idea de descomponer movimientos sigue siendo la base de la mecánica.

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Preguntas frecuentes

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