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El polinomio de Taylor no es solo una forma de aproximar funciones: es una herramienta de trabajo. Con él se resuelven límites que con L’Hôpital serían eternos, se garantiza cuántas cifras exactas tiene una aproximación y se simplifican los modelos de física e ingeniería. Este tema reúne esos usos con ejemplos. La fórmula y los desarrollos básicos están en el tema Polinomio de Taylor.

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Lo que vas a aprender

  • Qué significa la notación o(xn)o(x^n) y cómo se opera con ella.
  • Cómo resolver límites indeterminados sustituyendo cada función por su desarrollo.
  • Cómo acotar el error de una aproximación con el resto de Lagrange.
  • Las aproximaciones de primer orden que aparecen en física e ingeniería.
  • Cómo decidir si un punto crítico es máximo, mínimo o inflexión.

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Fundamentos teóricos

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Recordatorio: la fórmula de Taylor

f(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+Rn(x)f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x) con el resto de Lagrange Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−a)n+1ξ entre a y xR_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \qquad \xi \text{ entre } a \text{ y } x

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La notación o pequeña

g(x)=o(xn)g(x) = o(x^n) cuando x→0x \to 0 significa que g(x)/xn→0g(x)/x^n \to 0: gg es despreciable frente a xnx^n. Así, los desarrollos de Maclaurin se escriben ex=1+x+x22+o(x2)sen⁡x=x−x36+o(x3)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2) \qquad \operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) Reglas para operar:

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Límites con Taylor

Para un límite 0/00/0 en x→0x \to 0:
  1. Desarrolla el denominador hasta su primer término no nulo, de orden xkx^k.
  2. Desarrolla el numerador hasta el mismo orden kk.
  3. Simplifica: los términos de orden menor que kk deben cancelarse, y el límite es el cociente de los coeficientes de xkx^k.
Si el límite es en x→ax \to a, se cambia a t=x−at = x - a para llevarlo a t→0t \to 0.

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Infinitésimos equivalentes

Quedarse con el primer término del desarrollo da las equivalencias de siempre, cuando x→0x \to 0: sen⁡x∼xtan⁡x∼x1−cos⁡x∼x22ex−1∼xln⁡(1+x)∼x\operatorname{sen} x \sim x \quad \tan x \sim x \quad 1-\cos x \sim \tfrac{x^2}{2} \quad e^x - 1 \sim x \quad \ln(1+x) \sim x Solo se pueden usar en productos y cocientes, nunca en sumas o restas: ahí hay que desarrollar más términos.

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Acotar el error

Si se conoce una cota ∣f(n+1)(ξ)∣≤M|f^{(n+1)}(\xi)| \le M en el intervalo, el error al aproximar con el polinomio de grado nn cumple ∣Rn(x)∣≤M(n+1)!∣x−a∣n+1|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1} Para series alternadas con términos decrecientes hay un atajo: el error es menor que el primer término despreciado.

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Aproximaciones de primer orden

La linealización es la base del análisis de pequeña señal de los transistores y del estudio de estabilidad de sistemas de control.

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Clasificar puntos críticos

Si f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \cdots = f^{(n-1)}(a) = 0 y f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \ne 0, cerca de aa la función se comporta como f(n)(a)n!(x−a)n\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n:
  • nn par y f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0: mínimo. nn par y f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0: máximo.
  • nn impar: punto de inflexión, ni máximo ni mínimo.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Límite con seno

Calcula lim⁡x→0x−sen⁡xx3\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{x - \operatorname{sen} x}{x^3}.El denominador es de orden 3. Desarrollamos el seno hasta orden 3:x−(x−x36+o(x3))=x36+o(x3)x - \left(x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)\right) = \frac{x^3}{6} + o(x^3)El límite es 16\frac{1}{6}. Con L’Hôpital habría que derivar tres veces.
Calcula lim⁡x→0ex2−cos⁡xx2\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{e^{x^2} - \cos x}{x^2}.ex2=1+x2+o(x2)e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2) y cos⁡x=1−x22+o(x2)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2).Numerador: x2+x22+o(x2)=32x2+o(x2)x^2 + \frac{x^2}{2} + o(x^2) = \frac32 x^2 + o(x^2). Límite: 32\frac32.
lim⁡x→0tan⁡x−sen⁡xx3\displaystyle\lim_{x\to0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x^3}.Si se sustituye tan⁡x∼x\tan x \sim x y sen⁡x∼x\operatorname{sen} x \sim x, el numerador da 0 y el límite parece 0. Es falso.Desarrollando: tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3), sen⁡x=x−x36+o(x3)\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3). La resta es x32+o(x3)\frac{x^3}{2} + o(x^3) y el límite es 12\frac12.
¿Con qué grado aproxima Maclaurin ee (es decir, e1e^1) con error menor que 10−610^{-6}?Todas las derivadas de exe^x son ex≤e1<3e^x \le e^1 < 3 en [0,1][0, 1]. El error es ∣Rn∣≤3(n+1)!|R_n| \le \frac{3}{(n+1)!}.(n+1)!>3⋅106(n+1)! > 3 \cdot 10^6: 9!=362 8809! = 362\,880 no basta, 10!=3 628 80010! = 3\,628\,800 sí. Con n=9n = 9 se tienen 6 decimales exactos.
Aproxima 1,02\sqrt{1{,}02} con (1+x)1/2≈1+x2−x28(1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}.1,02≈1+0,01−0,00005=1,00995\sqrt{1{,}02} \approx 1 + 0{,}01 - 0{,}00005 = 1{,}00995. El valor real es 1,00995051{,}0099505: el error es del orden de 10−710^{-7}.
f(x)=x4−4x3+6x2−4xf(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x en x=1x = 1: f′(1)=f′′(1)=f′′′(1)=0f'(1) = f''(1) = f'''(1) = 0 y f(4)(1)=24>0f^{(4)}(1) = 24 > 0.El primer orden no nulo es 4, par y positivo: mínimo. De hecho f(x)=(x−1)4−1f(x) = (x-1)^4 - 1.

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Errores frecuentes

  • Usar infinitésimos equivalentes en sumas y restas. Solo valen en productos y cocientes.
  • No desarrollar hasta el orden necesario. Si el denominador es x3x^3, el numerador se desarrolla hasta x3x^3; quedarse en xx da un resultado falso.
  • Creer que o(x2)−o(x2)=0o(x^2) - o(x^2) = 0. Dos restos distintos no se cancelan.
  • Aplicar el desarrollo en el punto equivocado. Los de Maclaurin son válidos cerca de 0; para x→ax \to a hay que cambiar de variable.

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Preguntas frecuentes

Para límites con varias funciones o que requieren derivar muchas veces, Taylor es más rápido y deja ver el orden de cada término. L’Hôpital es cómodo cuando basta con derivar una vez.
El error relativo es aproximadamente θ2/6\theta^2/6. Para que sea menor del 1 % hace falta θ<0,245\theta < 0{,}245 rad, unos 14°. Por eso el periodo del péndulo T=2πL/gT = 2\pi\sqrt{L/g} solo es exacto para oscilaciones pequeñas.

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Temas relacionados

Polinomio de Taylor

La fórmula, los desarrollos básicos y el simulador.

Límites paso a paso

Indeterminaciones y L’Hôpital.

Taylor en varias variables

Gradiente, hessiana y aproximación cuadrática.
Última modificación el 12 de octubre de 2026