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Diseñar una lata con el mínimo de chapa, repartir un presupuesto para ganar lo máximo o encontrar la configuración de menor energía de una molécula: todo es optimizar una función de varias variables. El método tiene dos partes: buscar los puntos donde el gradiente se anula y clasificarlos con la hessiana. Cuando las variables están ligadas por una condición, entran en juego los multiplicadores de Lagrange.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un punto crítico y por qué los extremos están ahí.
  • El criterio de la hessiana para distinguir máximos, mínimos y puntos de silla.
  • Cómo encontrar extremos absolutos en un recinto cerrado y acotado.
  • El método de los multiplicadores de Lagrange y su interpretación geométrica.

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Fundamentos teóricos

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Puntos críticos

Si ff es diferenciable y tiene un extremo local en un punto interior, ahí ∇f=0\nabla f = \mathbf{0} Los puntos que cumplen esto son los puntos críticos. No todos son extremos: también pueden ser puntos de silla, que son máximo en una dirección y mínimo en otra.

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Criterio de la hessiana (dos variables)

En un punto crítico se calcula D=fxx fyy−fxy2D = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^2

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Tres o más variables

Se mira la hessiana completa. Con los menores principales Δ1,Δ2,Δ3,…\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \dots (determinantes de las submatrices superiores izquierdas):
  • Todos positivos: mínimo (definida positiva).
  • Signos alternos empezando por negativo (−,+,−,…-, +, -, \dots): máximo (definida negativa).
  • Otro patrón con det⁡H≠0\det H \ne 0: punto de silla.
Equivalente: autovalores todos positivos (mínimo), todos negativos (máximo), de los dos signos (silla).

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Extremos absolutos en un recinto

Una función continua en un recinto cerrado y acotado alcanza siempre su máximo y su mínimo (teorema de Weierstrass). Para encontrarlos:
  1. Puntos críticos dentro del recinto.
  2. Extremos sobre la frontera (parametrizándola o con Lagrange).
  3. Los vértices de la frontera, si los hay.
  4. Se evalúa ff en todos los candidatos: el mayor valor es el máximo y el menor, el mínimo.

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Multiplicadores de Lagrange

Para optimizar f(x,y)f(x, y) con la restricción g(x,y)=cg(x, y) = c, en el extremo los gradientes son paralelos: ∇f=λ ∇gg(x,y)=c\nabla f = \lambda\,\nabla g \qquad g(x, y) = c Son tres ecuaciones con tres incógnitas (x,y,λ)(x, y, \lambda). Equivale a buscar puntos críticos de la lagrangiana L(x,y,λ)=f(x,y)−λ (g(x,y)−c)\mathcal{L}(x, y, \lambda) = f(x, y) - \lambda\,\big(g(x, y) - c\big) Interpretación geométrica. Si se recorre la curva g=cg = c, ff deja de crecer justo cuando esa curva es tangente a una curva de nivel de ff, y ahí los dos gradientes, perpendiculares a sus curvas, son paralelos. Interpretación de λ. Es la sensibilidad del óptimo a la restricción: λ=df∗dc\lambda = \frac{d f^*}{d c}. En economía es el precio sombra del recurso. Con dos restricciones: ∇f=λ1∇g1+λ2∇g2\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Clasificar puntos críticos

f(x,y)=x3−3x+y2f(x, y) = x^3 - 3x + y^2.∇f=(3x2−3, 2y)=(0,0)\nabla f = (3x^2 - 3,\ 2y) = (0, 0): puntos (1,0)(1, 0) y (−1,0)(-1, 0).fxx=6xf_{xx} = 6x, fyy=2f_{yy} = 2, fxy=0f_{xy} = 0, así que D=12xD = 12x.
  • (1,0)(1, 0): D=12>0D = 12 > 0, fxx=6>0f_{xx} = 6 > 0: mínimo local, f=−2f = -2.
  • (−1,0)(-1, 0): D=−12<0D = -12 < 0: punto de silla.
f(x,y)=x2−y2f(x, y) = x^2 - y^2 tiene un único punto crítico en el origen, con D=2⋅(−2)−0=−4<0D = 2 \cdot (-2) - 0 = -4 < 0. Es un punto de silla: mínimo a lo largo del eje xx y máximo a lo largo del eje yy.
Rectángulo de perímetro 20 con área máxima: maximizar f=xyf = xy con g=2x+2y=20g = 2x + 2y = 20.∇f=(y,x)\nabla f = (y, x), ∇g=(2,2)\nabla g = (2, 2). Sistema: y=2λy = 2\lambda, x=2λx = 2\lambda, x+y=10x + y = 10.x=y=5x = y = 5, área 25: el rectángulo óptimo es un cuadrado. λ=2,5\lambda = 2{,}5: si el perímetro creciera en 1, el área máxima crecería unas 2,5 unidades.
Extremos de f=x+2yf = x + 2y sobre x2+y2=5x^2 + y^2 = 5.1=2λx1 = 2\lambda x, 2=2λy2 = 2\lambda y, así que y=2xy = 2x. Sustituyendo: 5x2=55x^2 = 5, x=±1x = \pm1.En (1,2)(1, 2): f=5f = 5 (máximo). En (−1,−2)(-1, -2): f=−5f = -5 (mínimo).
Cilindro de volumen VV con superficie mínima: minimizar S=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi r h con πr2h=V\pi r^2 h = V.4πr+2πh=λ 2πrh4\pi r + 2\pi h = \lambda\, 2\pi r h y 2πr=λ πr22\pi r = \lambda\,\pi r^2, así que λ=2/r\lambda = 2/r.Sustituyendo en la primera: 4πr+2πh=4πh4\pi r + 2\pi h = 4\pi h, es decir, h=2rh = 2r. La lata óptima tiene la altura igual al diámetro.

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Errores frecuentes

  • Pensar que todo punto crítico es un extremo. Hay que clasificarlo; puede ser un punto de silla.
  • Olvidar la frontera al buscar extremos absolutos. A menudo el máximo está en el borde.
  • Olvidar la restricción en el sistema de Lagrange: sin g=cg = c hay más incógnitas que ecuaciones.
  • Dividir por una variable que puede ser 0 al resolver el sistema. Hay que estudiar ese caso aparte.

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Preguntas frecuentes

No por sí solo. Si la restricción es cerrada y acotada (una circunferencia, una esfera) basta con evaluar ff en los candidatos. Si no, hay que usar la hessiana orlada o razonar sobre el problema.
Se usan las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), que generalizan Lagrange: cada restricción o está activa (se cumple con igualdad y lleva su multiplicador) o no influye (su multiplicador es 0). Son la base de la programación no lineal.

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Temas relacionados

Derivadas parciales

Gradiente y puntos críticos.

Taylor en varias variables

De dónde sale el criterio de la hessiana.

Autovalores

Clasificar la hessiana por sus autovalores.
Última modificación el 12 de octubre de 2026