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El campo eléctrico, la velocidad de un fluido o el campo magnético asignan un vector a cada punto del espacio. El cálculo vectorial da las herramientas para medirlos: cuánto “brota” un campo de un punto (divergencia), cuánto “gira” (rotacional), cuánto trabajo hace a lo largo de un camino (integral de línea) y cuánto atraviesa una superficie (flujo). Los tres grandes teoremas, Green, Stokes y Gauss, conectan todo y son el lenguaje de las ecuaciones de Maxwell y de la mecánica de fluidos.

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Lo que vas a aprender

  • Qué son la divergencia y el rotacional y qué significan físicamente.
  • Cuándo un campo es conservativo y cómo hallar su potencial.
  • Cómo calcular integrales de línea (trabajo, circulación) y de superficie (flujo).
  • Los teoremas de Green, Stokes y Gauss, y cuándo conviene cada uno.

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Fundamentos teóricos

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El operador nabla

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) Para un campo escalar ff y uno vectorial F=(P,Q,R)\mathbf{F} = (P, Q, R): El rotacional se calcula como un determinante: ∇×F=∣ijk∂x∂y∂zPQR∣=(Ry−Qz, Pz−Rx, Qx−Py)\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ P & Q & R \end{vmatrix} = (R_y - Q_z,\ P_z - R_x,\ Q_x - P_y) Dos identidades que se usan siempre: ∇×(∇f)=0\nabla\times(\nabla f) = \mathbf{0} y ∇⋅(∇×F)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = 0.

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Integral de línea

El trabajo o circulación de F\mathbf{F} a lo largo de una curva CC parametrizada por r(t)\mathbf{r}(t), t∈[a,b]t \in [a, b]: ∫CF⋅dr=∫abF(r(t))⋅r′(t) dt\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(t)\big)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt

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Campos conservativos

F\mathbf{F} es conservativo si existe un potencial ff con F=∇f\mathbf{F} = \nabla f. Entonces: ∫CF⋅dr=f(B)−f(A)\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = f(B) - f(A) El trabajo solo depende de los extremos y es nulo en cualquier curva cerrada. En un dominio sin agujeros (simplemente conexo), F\mathbf{F} es conservativo si y solo si ∇×F=0\nabla\times\mathbf{F} = \mathbf{0}. En el plano basta con Qx=PyQ_x = P_y.

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Integral de superficie y flujo

El flujo de F\mathbf{F} a través de una superficie SS parametrizada por r(u,v)\mathbf{r}(u, v): ∬SF⋅dS=∬DF(r(u,v))⋅(ru×rv) du dv\iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}\big(\mathbf{r}(u,v)\big)\cdot(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v)\,du\,dv El vector ru×rv\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v es normal a la superficie; su sentido fija la orientación.

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Los tres teoremas

Los tres dicen lo mismo: integrar una derivada en una región equivale a integrar la función en su borde. Es el teorema fundamental del cálculo en más dimensiones. Orientaciones: en Green, la curva se recorre en sentido antihorario (la región queda a la izquierda). En Stokes, regla de la mano derecha entre el sentido de CC y la normal de SS. En Gauss, normal hacia fuera.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Divergencia y rotacional

F=(xy, yz, zx)\mathbf{F} = (xy,\ yz,\ zx).∇⋅F=y+z+x\nabla\cdot\mathbf{F} = y + z + x.∇×F=(0−y, 0−z, 0−x)=(−y,−z,−x)\nabla\times\mathbf{F} = (0 - y,\ 0 - z,\ 0 - x) = (-y, -z, -x). No es conservativo.
F=(2xy, x2+1)\mathbf{F} = (2xy,\ x^2 + 1) en el plano. Qx=2x=PyQ_x = 2x = P_y: es conservativo.fx=2xy⇒f=x2y+g(y)f_x = 2xy \Rightarrow f = x^2y + g(y). fy=x2+g′(y)=x2+1⇒g=yf_y = x^2 + g'(y) = x^2 + 1 \Rightarrow g = y.f=x2y+yf = x^2 y + y. El trabajo de (0,0)(0, 0) a (1,2)(1, 2) por cualquier camino es f(1,2)−f(0,0)=4f(1,2) - f(0,0) = 4.
∫CF⋅dr\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} con F=(−y,x)\mathbf{F} = (-y, x) sobre la circunferencia unidad en sentido antihorario.r=(cos⁡t,sen⁡t)\mathbf{r} = (\cos t, \operatorname{sen} t), r′=(−sen⁡t,cos⁡t)\mathbf{r}' = (-\operatorname{sen} t, \cos t).F⋅r′=sen⁡2t+cos⁡2t=1\mathbf{F}\cdot\mathbf{r}' = \operatorname{sen}^2 t + \cos^2 t = 1. Integral: ∫02π1 dt=2π\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi.
Con P=−yP = -y, Q=xQ = x: Qx−Py=2Q_x - P_y = 2. ∬D2 dA=2⋅π=2π\iint_D 2\,dA = 2\cdot\pi = 2\pi. ✓En general, 12∮C(x dy−y dx)\frac12\oint_C (x\,dy - y\,dx) es el área encerrada por CC: así funcionan los planímetros.
Flujo de F=(x,y,z)\mathbf{F} = (x, y, z) hacia fuera a través de la esfera de radio RR.∇⋅F=3\nabla\cdot\mathbf{F} = 3. Por Gauss: ∭V3 dV=3⋅43πR3=4πR3\iiint_V 3\,dV = 3\cdot\frac43\pi R^3 = 4\pi R^3.Directamente: en la esfera F⋅n=R\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = R y el área es 4πR24\pi R^2, que da lo mismo.
Para una carga puntual, E=kqr2r^\mathbf{E} = \frac{kq}{r^2}\hat{\mathbf{r}}. En una esfera de radio rr, E⋅n=kq/r2\mathbf{E}\cdot\mathbf{n} = kq/r^2, constante:∯E⋅dS=kqr2⋅4πr2=4πkq=qε0\oiint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{S} = \frac{kq}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = 4\pi k q = \frac{q}{\varepsilon_0}.El flujo no depende del radio: es la ley de Gauss, ∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0 en forma diferencial.

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Errores frecuentes

  • Aplicar el criterio del rotacional en un dominio con agujeros. F=(−y,x)x2+y2\mathbf{F} = \frac{(-y, x)}{x^2+y^2} tiene rotacional nulo fuera del origen pero su circulación alrededor de él es 2π2\pi: no es conservativo.
  • Equivocar la orientación. Cambiarla cambia el signo del resultado.
  • Usar Gauss en una superficie abierta. El teorema de la divergencia solo vale para superficies cerradas; si falta una tapa, hay que añadirla y restar su flujo.
  • Confundir divergencia (escalar) y rotacional (vector).

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Preguntas frecuentes

Que no hay fuentes ni sumideros: lo que entra en cualquier volumen pequeño sale de él. Un fluido incompresible tiene ∇⋅v=0\nabla\cdot\mathbf{v} = 0, y el campo magnético siempre cumple ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0, porque no existen monopolos magnéticos.
∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0, ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf{B} = 0, ∇×E=−∂tB\nabla\times\mathbf{E} = -\partial_t\mathbf{B} y ∇×B=μ0J+μ0ε0 ∂tE\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\varepsilon_0\,\partial_t\mathbf{E}. Aplicando Gauss y Stokes salen sus formas integrales: leyes de Gauss, de Faraday y de Ampère-Maxwell.

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Temas relacionados

Campo eléctrico

Líneas de campo y potencial de cargas puntuales.

Campo magnético

Campo de corrientes y ley de Ampère.

Integrales múltiples

Integrales dobles y triples, y cambio de coordenadas.
Última modificación el 12 de octubre de 2026