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En una variable, Taylor aproxima una curva por una recta, una parábola, una cúbica… En varias variables la idea es la misma, pero lo que se aproxima es una superficie: primero por su plano tangente y después por un paraboloide que recoge cómo se curva en cada dirección. Esa aproximación cuadrática es la que permite clasificar máximos y mínimos, y la que usan los métodos de optimización.

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Lo que vas a aprender

  • La aproximación lineal y el plano tangente.
  • Qué es la matriz hessiana y qué información contiene.
  • La fórmula de Taylor de orden 2 en forma escalar y matricial.
  • Cómo estimar el error de una magnitud calculada con la diferencial total.

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Fundamentos teóricos

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Orden 1: aproximación lineal

Para f(x,y)f(x, y) cerca de (a,b)(a, b): f(x,y)≈f(a,b)+fx(a,b) (x−a)+fy(a,b) (y−b)f(x, y) \approx f(a, b) + f_x(a, b)\,(x-a) + f_y(a, b)\,(y-b) La gráfica de la parte derecha es el plano tangente. En forma vectorial, con h=(x−a,y−b)\mathbf{h} = (x-a, y-b): f(a+h)≈f(a)+∇f(a)⋅hf(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h}

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La matriz hessiana

Reúne las derivadas segundas: Hf(a)=(fxxfxyfyxfyy)H f(\mathbf{a}) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} Si las derivadas segundas son continuas, fxy=fyxf_{xy} = f_{yx} (teorema de Schwarz) y la hessiana es simétrica.

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Orden 2: aproximación cuadrática

f(a+h)≈f(a)+∇f(a)⋅h+12 hT Hf(a) hf(\mathbf{a} + \mathbf{h}) \approx f(\mathbf{a}) + \nabla f(\mathbf{a}) \cdot \mathbf{h} + \frac12\,\mathbf{h}^T\, H f(\mathbf{a})\, \mathbf{h} Desarrollado en dos variables, con h=x−ah = x-a y k=y−bk = y-b: f≈f+fxh+fyk+12(fxxh2+2fxyhk+fyyk2)f \approx f + f_x h + f_y k + \frac12\left(f_{xx} h^2 + 2 f_{xy} h k + f_{yy} k^2\right) todo evaluado en (a,b)(a, b). Es la misma estructura que en una variable: valor, pendiente y curvatura.

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Qué dice la hessiana en un punto crítico

En un punto crítico ∇f=0\nabla f = \mathbf{0}, así que la forma de la superficie la decide el término cuadrático: En dos variables basta con mirar D=fxxfyy−fxy2D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 y el signo de fxxf_{xx}. Lo desarrolla el tema de extremos y multiplicadores de Lagrange.

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Diferencial total y propagación de errores

Si una magnitud f(x,y)f(x, y) se calcula con datos que tienen errores Δx\Delta x y Δy\Delta y, la aproximación lineal da Δf≈∣fx∣ Δx+∣fy∣ Δy\Delta f \approx |f_x|\,\Delta x + |f_y|\,\Delta y Es la cota del error en el peor caso. Para errores independientes y aleatorios se usa la suma cuadrática: Δf≈(fxΔx)2+(fyΔy)2\Delta f \approx \sqrt{(f_x \Delta x)^2 + (f_y \Delta y)^2}.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Plano tangente

Plano tangente a f(x,y)=x2+xy+2y2f(x, y) = x^2 + xy + 2y^2 en (1,1)(1, 1).f(1,1)=4f(1,1) = 4. fx=2x+y=3f_x = 2x + y = 3, fy=x+4y=5f_y = x + 4y = 5.z=4+3(x−1)+5(y−1)z = 4 + 3(x-1) + 5(y-1), es decir, z=3x+5y−4z = 3x + 5y - 4.
Desarrollo de orden 2 de f(x,y)=excos⁡yf(x, y) = e^x \cos y en (0,0)(0, 0).f=1f = 1. fx=excos⁡y=1f_x = e^x\cos y = 1, fy=−exsen⁡y=0f_y = -e^x \operatorname{sen} y = 0.fxx=1f_{xx} = 1, fxy=−exsen⁡y=0f_{xy} = -e^x\operatorname{sen} y = 0, fyy=−excos⁡y=−1f_{yy} = -e^x \cos y = -1.excos⁡y≈1+x+12(x2−y2)e^x\cos y \approx 1 + x + \frac12(x^2 - y^2).Se puede comprobar multiplicando los desarrollos: (1+x+x22)(1−y22)(1 + x + \frac{x^2}{2})(1 - \frac{y^2}{2}) y quedándose con los términos de grado 2 o menos.
Estima f(1,02; 0,97)f(1{,}02;\ 0{,}97) para f(x,y)=x2+y2+2f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2 + 2}, sabiendo que f(1,1)=2f(1, 1) = 2.fx=x/f=0,5f_x = x/f = 0{,}5 y fy=y/f=0,5f_y = y/f = 0{,}5 en (1,1)(1, 1).f≈2+0,5⋅0,02+0,5⋅(−0,03)=1,995f \approx 2 + 0{,}5 \cdot 0{,}02 + 0{,}5 \cdot (-0{,}03) = 1{,}995. El valor real es 1,995321{,}99532.
Se miden un radio r=5,0±0,1r = 5{,}0 \pm 0{,}1 cm y una altura h=10,0±0,2h = 10{,}0 \pm 0{,}2 cm. ¿Error del volumen V=πr2hV = \pi r^2 h?Vr=2πrh=100πV_r = 2\pi r h = 100\pi, Vh=πr2=25πV_h = \pi r^2 = 25\pi.ΔV≈100π⋅0,1+25π⋅0,2=15π≈47\Delta V \approx 100\pi \cdot 0{,}1 + 25\pi \cdot 0{,}2 = 15\pi \approx 47 cm³, sobre V=250π≈785V = 250\pi \approx 785 cm³: un 6 %.En relativo es más rápido: ΔVV=2Δrr+Δhh=0,04+0,02\frac{\Delta V}{V} = 2\frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta h}{h} = 0{,}04 + 0{,}02.

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Errores frecuentes

  • Olvidar el factor 2 del término cruzado. En la forma escalar aparece 2fxyhk2 f_{xy} h k, porque fxyf_{xy} y fyxf_{yx} son iguales y se suman.
  • Olvidar el 12\frac12 delante del término cuadrático.
  • Evaluar las derivadas en el punto nuevo. Todas se evalúan en el punto de desarrollo (a,b)(a, b).
  • Concluir con la hessiana semidefinida. Si su determinante es 0, el orden 2 no decide: hace falta ir a orden superior o estudiar la función directamente.

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Preguntas frecuentes

La forma matricial f(a)+∇f⋅h+12hTHhf(\mathbf{a}) + \nabla f \cdot \mathbf{h} + \frac12 \mathbf{h}^T H \mathbf{h} vale igual: la hessiana es n×nn \times n. Para clasificar se miran sus autovalores o los menores principales.
En optimización (el método de Newton minimiza la aproximación cuadrática en cada paso), en la propagación de incertidumbres de un laboratorio, en la linealización de sistemas no lineales alrededor de un punto de trabajo y en el estudio de la estabilidad de equilibrios.

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Temas relacionados

Polinomio de Taylor

El caso de una variable.

Derivadas parciales

Gradiente y derivada direccional.

Superficies en 3D

Dibuja la superficie y su plano tangente.
Última modificación el 12 de octubre de 2026