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La temperatura de una placa, la presión de un gas o el beneficio de una empresa dependen de varias variables a la vez. Para saber cómo cambian, se deriva respecto de una de ellas dejando las demás fijas: eso es una derivada parcial. Juntando todas se obtiene el gradiente, un vector que señala hacia dónde crece la función más deprisa y que está en la base de la optimización, el electromagnetismo y el aprendizaje automático.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es una derivada parcial y cómo se calcula.
  • Su interpretación como pendiente de una sección de la superficie.
  • El vector gradiente y sus propiedades.
  • La derivada direccional y la dirección de máximo crecimiento.
  • La regla de la cadena y la derivación implícita.

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Fundamentos teóricos

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Definición

Para f(x,y)f(x, y), la derivada parcial respecto de xx es ∂f∂x(a,b)=lim⁡h→0f(a+h,b)−f(a,b)h\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = \lim_{h\to0} \frac{f(a+h, b) - f(a, b)}{h} En la práctica: se deriva respecto de xx tratando yy como una constante. Se escribe ∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}, fxf_x o ∂xf\partial_x f. Geométricamente, fx(a,b)f_x(a, b) es la pendiente de la curva que resulta de cortar la superficie z=f(x,y)z = f(x, y) con el plano y=by = b.

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Derivadas de orden superior

Derivando otra vez salen fxxf_{xx}, fyyf_{yy} y las cruzadas fxyf_{xy} y fyxf_{yx}. Si son continuas, el teorema de Schwarz asegura que fxy=fyxf_{xy} = f_{yx}

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El gradiente

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) Tiene tres propiedades fundamentales:
  1. Apunta en la dirección en la que ff crece más rápido.
  2. Su módulo ∣∇f∣|\nabla f| es esa tasa máxima de crecimiento.
  3. Es perpendicular a las curvas (o superficies) de nivel f=ctef = \text{cte}.

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Derivada direccional

La tasa de cambio de ff en la dirección de un vector unitario u\mathbf{u} es Duf=∇f⋅u=∣∇f∣cos⁡θD_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f|\cos\theta Es máxima cuando u\mathbf{u} va en la dirección del gradiente (θ=0\theta = 0), nula si es perpendicular y mínima en sentido contrario.

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Diferenciabilidad

Que existan las parciales no basta para que la función sea diferenciable (ni siquiera continua). ff es diferenciable en un punto si el plano tangente la aproxima bien: lim⁡h→0f(a+h)−f(a)−∇f(a)⋅h∣h∣=0\lim_{\mathbf{h}\to\mathbf{0}} \frac{f(\mathbf{a}+\mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) - \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{h}}{|\mathbf{h}|} = 0 Condición suficiente: si las parciales existen y son continuas cerca del punto, ff es diferenciable.

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Regla de la cadena

Si z=f(x,y)z = f(x, y) con x=x(t)x = x(t) e y=y(t)y = y(t): dzdt=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} Si xx e yy dependen de dos variables (u,v)(u, v), se suma por cada camino: ∂z∂u=∂f∂x∂x∂u+∂f∂y∂y∂u\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} En general es un producto de matrices jacobianas: Jf∘g=Jf⋅JgJ_{f\circ g} = J_f \cdot J_g.

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Derivación implícita

Si F(x,y)=0F(x, y) = 0 define yy como función de xx: dydx=−FxFy(Fy≠0)\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \qquad (F_y \ne 0)

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Calcular parciales

f(x,y)=x3y2+sen⁡(xy)f(x, y) = x^3 y^2 + \operatorname{sen}(xy).fx=3x2y2+ycos⁡(xy)f_x = 3x^2y^2 + y\cos(xy)fy=2x3y+xcos⁡(xy)f_y = 2x^3 y + x\cos(xy)fxy=6x2y+cos⁡(xy)−xysen⁡(xy)f_{xy} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\operatorname{sen}(xy), igual a fyxf_{yx}, como dice Schwarz.
f(x,y)=x2+3y2f(x, y) = x^2 + 3y^2 en (1,1)(1, 1), en la dirección de v=(3,4)\mathbf{v} = (3, 4).∇f=(2x,6y)=(2,6)\nabla f = (2x, 6y) = (2, 6). El vector unitario es u=(3/5,4/5)\mathbf{u} = (3/5, 4/5).Duf=2⋅35+6⋅45=305=6D_{\mathbf{u}} f = 2 \cdot \frac35 + 6 \cdot \frac45 = \frac{30}{5} = 6.La máxima tasa es ∣∇f∣=40≈6,32|\nabla f| = \sqrt{40} \approx 6{,}32, en la dirección (2,6)(2, 6).
z=x2yz = x^2 y con x=cos⁡tx = \cos t, y=sen⁡ty = \operatorname{sen} t. Calcula dz/dtdz/dt.dzdt=2xy⋅(−sen⁡t)+x2cos⁡t=−2cos⁡tsen⁡2t+cos⁡3t\frac{dz}{dt} = 2xy\cdot(-\operatorname{sen} t) + x^2 \cos t = -2\cos t\operatorname{sen}^2 t + \cos^3 t.Se comprueba derivando directamente z=cos⁡2tsen⁡tz = \cos^2 t\operatorname{sen} t.
Pendiente de la circunferencia x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 en (3,4)(3, 4).F=x2+y2−25F = x^2 + y^2 - 25: dydx=−2x2y=−34\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac34.
f(x,y)=xyx2+y2f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} con f(0,0)=0f(0, 0) = 0.En los ejes ff vale 0, así que fx(0,0)=fy(0,0)=0f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0: las parciales existen. Pero sobre la recta y=xy = x la función vale 12\frac12 en todos los puntos, así que no es continua en el origen. Existir las parciales no implica diferenciabilidad.

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Errores frecuentes

  • Derivar también la variable que se deja fija. En fxf_x, yy es una constante: ∂x(x2y3)=2xy3\partial_x(x^2 y^3) = 2x y^3.
  • Usar un vector no unitario en la derivada direccional. Hay que dividir por su módulo antes del producto escalar.
  • Pensar que parciales implica diferenciable. Hace falta que sean continuas, o comprobar la definición.
  • Olvidar un camino en la regla de la cadena. Hay un término por cada variable intermedia.

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Preguntas frecuentes

Porque a lo largo de una curva de nivel ff no cambia: la derivada direccional en la dirección tangente es ∇f⋅t=0\nabla f \cdot \mathbf{t} = 0. Por eso, en un mapa topográfico, la dirección de máxima pendiente corta las curvas de nivel en ángulo recto.
El campo eléctrico es E=−∇V\mathbf{E} = -\nabla V; el calor fluye según −∇T-\nabla T (ley de Fourier); y el descenso por gradiente, que entrena las redes neuronales, avanza en la dirección −∇f-\nabla f para minimizar el error.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026