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Una integral simple suma valores a lo largo de un intervalo; una integral doble los suma sobre una región del plano, y una triple, sobre un volumen. Con ellas se calculan áreas, volúmenes, masas, cargas, centros de masa y momentos de inercia. El truco es siempre el mismo: convertirlas en varias integrales simples, una dentro de otra, y elegir las coordenadas que hagan sencillo el recinto.

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Lo que vas a aprender

  • Cómo calcular una integral doble con integrales iteradas (Fubini).
  • Cómo describir un recinto y cambiar el orden de integración.
  • El cambio de variable y el jacobiano.
  • Las coordenadas polares, cilíndricas y esféricas con su factor de área o volumen.
  • Las aplicaciones físicas: masa, centro de masas e inercia.

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Fundamentos teóricos

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Teorema de Fubini

Sobre un rectángulo [a,b]×[c,d][a, b] \times [c, d], si ff es continua: ∬Rf dA=∫ab(∫cdf(x,y) dy)dx=∫cd(∫abf(x,y) dx)dy\iint_R f\,dA = \int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)\,dy\right) dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right) dy Se integra primero respecto de una variable tratando la otra como constante.

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Recintos generales

Los límites de la integral exterior son siempre números; los de la interior pueden depender de la variable exterior. Cambiar el orden de integración consiste en dibujar el recinto y describirlo del otro tipo. A veces convierte una integral imposible en una inmediata.

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Cambio de variable

Si x=x(u,v)x = x(u, v), y=y(u,v)y = y(u, v): ∬Rf(x,y) dx dy=∬Sf(x(u,v),y(u,v)) ∣J∣ du dvJ=det⁡(xuxvyuyv)\iint_R f(x, y)\,dx\,dy = \iint_S f\big(x(u,v), y(u,v)\big)\,|J|\,du\,dv \qquad J = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{pmatrix} El valor absoluto del jacobiano ∣J∣|J| mide cuánto se estira el área al pasar de (u,v)(u, v) a (x,y)(x, y).

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Coordenadas habituales

En esféricas, φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] es el ángulo con el eje zz y θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi), el ángulo en el plano xyxy.

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Aplicaciones

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Integral sobre un rectángulo

∬Rxy2 dA\displaystyle\iint_R xy^2\,dA con R=[0,2]×[0,3]R = [0, 2] \times [0, 3].∫02∫03xy2 dy dx=∫02x⋅9 dx=9⋅2=18\int_0^2 \int_0^3 xy^2\,dy\,dx = \int_0^2 x\cdot 9\,dx = 9 \cdot 2 = 18.Como la función es producto de una de xx y otra de yy, también vale (∫02x dx)(∫03y2 dy)=2⋅9\left(\int_0^2 x\,dx\right)\left(\int_0^3 y^2\,dy\right) = 2 \cdot 9.
∬Rx dA\displaystyle\iint_R x\,dA sobre la región entre y=x2y = x^2 e y=xy = x.Se cortan en x=0x = 0 y x=1x = 1, con x2≤y≤xx^2 \le y \le x:∫01∫x2xx dy dx=∫01(x2−x3) dx=13−14=112\int_0^1 \int_{x^2}^{x} x\,dy\,dx = \int_0^1 (x^2 - x^3)\,dx = \frac13 - \frac14 = \frac{1}{12}.
∫01∫y1ex2 dx dy\displaystyle\int_0^1 \int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy no se puede hacer así: ex2e^{x^2} no tiene primitiva elemental.El recinto es 0≤y≤x≤10 \le y \le x \le 1. En orden dy dxdy\,dx: 0≤x≤10 \le x \le 1, 0≤y≤x0 \le y \le x.∫01∫0xex2 dy dx=∫01x ex2 dx=e−12\int_0^1 \int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}.
I=∫−∞∞e−x2dxI = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx. Se calcula I2I^2 como integral doble en todo el plano:I2=∬e−(x2+y2)dA=∫02π∫0∞e−r2r dr dθ=2π⋅12=πI^2 = \iint e^{-(x^2+y^2)}dA = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2} r\,dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac12 = \pi.Luego I=πI = \sqrt{\pi}. Es la constante que normaliza la distribución normal.
V=∫02π∫0π∫0Rρ2sen⁡φ dρ dφ dθ=2π⋅2⋅R33=43πR3V = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^R \rho^2\operatorname{sen}\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac43\pi R^3.
Cilindro macizo de radio RR, altura hh y densidad ρ\rho uniforme, respecto de su eje:Iz=ρ∫0h∫02π∫0Rr2⋅r dr dθ dz=ρ⋅R44⋅2πh=12MR2I_z = \rho\int_0^h\int_0^{2\pi}\int_0^R r^2 \cdot r\,dr\,d\theta\,dz = \rho \cdot \frac{R^4}{4} \cdot 2\pi h = \frac12 M R^2, con M=ρπR2hM = \rho\pi R^2 h.

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Errores frecuentes

  • Olvidar el jacobiano, sobre todo la rr de las polares. Sin ella, el área de un círculo saldría 2πR2\pi R.
  • Poner variables en los límites exteriores. Los límites de la integral de fuera son siempre constantes.
  • Cambiar el orden sin cambiar los límites. Hay que volver a describir el recinto, no solo intercambiar dxdx y dydy.
  • Confundir los ángulos de las esféricas. φ\varphi va de 0 a π\pi, no de 0 a 2π2\pi.

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Preguntas frecuentes

Por la forma del recinto, más que por la función: círculos y sectores, polares; cilindros y conos, cilíndricas; esferas, esféricas. Si además la función depende de x2+y2x^2 + y^2, polares o cilíndricas casi seguro.
Para funciones continuas en recintos acotados, sí (Fubini). Para integrales impropias hace falta que la integral del valor absoluto sea finita; si no, los dos órdenes pueden dar resultados distintos.

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Temas relacionados

Integrales paso a paso

Primitivas de una variable.

Cálculo vectorial

Integrales de línea y de superficie.

Integración numérica

Cuando no hay primitiva.
Última modificación el 12 de octubre de 2026