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Abrir el simulador

Suelta bolas entre clavos y mira cómo el azar forma la binomial y la campana de Gauss.
Una bola cae por un tablero lleno de clavos. En cada clavo rebota a la izquierda o a la derecha, al azar. Es imposible saber dónde acabará una bola. Pero si sueltas mil, siempre forman la misma figura: una campana. Francis Galton construyó este tablero en 1873 para mostrar cómo el azar individual produce orden colectivo.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un experimento de Bernoulli y la distribución binomial.
  • Calcular probabilidades binomiales con números combinatorios.
  • La media y la varianza de una binomial.
  • Por qué la binomial se parece a una normal cuando nn es grande.

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Cómo se usa el simulador

  • Soltar bolas: 1, 100, +1000 al instante o ▶ Lluvia continua. ↺ Vaciar limpia el tablero.
  • Las barras son lo observado; los puntos, la binomial teórica; la línea, la normal aproximada.
  • El panel compara la media y la varianza observadas con las teóricas npnp y np(1−p)np(1 - p).

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Fundamentos teóricos

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Experimento de Bernoulli

Un experimento con dos resultados: éxito (ir a la derecha) con probabilidad pp, fracaso con 1−p1 - p.

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Distribución binomial

Si se repite nn veces de forma independiente, el número de éxitos XX sigue una binomial B(n,p)B(n, p): P(X=k)=(nk) pk (1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k}\,p^k\,(1 - p)^{n - k} (nk)\binom{n}{k} cuenta cuántos caminos distintos llevan a la casilla kk. Hay muchísimos más caminos hacia el centro que hacia los extremos: por eso las bolas se acumulan en medio.

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Media y varianza

μ=n pσ2=n p (1−p)\mu = n\,p \qquad \sigma^2 = n\,p\,(1 - p)

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El triángulo de Pascal

El número de caminos hasta cada clavo es un número del triángulo de Pascal: cada uno es la suma de los dos de arriba.

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Aproximación a la normal

Cuando nn es grande (en la práctica, np>5np > 5 y n(1−p)>5n(1 - p) > 5), la binomial se parece mucho a una normal: B(n,p)≈N(np, np(1−p))B(n, p) \approx N\big(np,\ \sqrt{np(1 - p)}\big) Es un caso del teorema central del límite: la suma de muchas variables independientes tiende a una normal.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · La casilla central

Con 10 filas y p=0,5p = 0{,}5, ¿qué probabilidad hay de caer en la casilla 5?P(X=5)=(105) 0,510=252/1024=0,246P(X = 5) = \binom{10}{5}\,0{,}5^{10} = 252/1024 = 0{,}246.
¿Y en la casilla 0? P(X=0)=0,510=1/1024≈0,001P(X = 0) = 0{,}5^{10} = 1/1024 \approx 0{,}001. Solo hay un camino: siempre a la izquierda.
Con n=10n = 10 y p=0,5p = 0{,}5: μ=5\mu = 5, σ2=2,5\sigma^2 = 2{,}5, σ=1,58\sigma = 1{,}58. Con p=0,3p = 0{,}3: μ=3\mu = 3, σ2=2,1\sigma^2 = 2{,}1.

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Experimenta con el simulador

1

Una bola, mil bolas

Suelta una bola varias veces y luego mil de golpe. ¿Qué es predecible y qué no?
2

Tablero sesgado

Cambia p a 0,2. ¿Hacia dónde se mueve la campana? ¿Sigue siendo simétrica?
3

Más filas

Pasa de 4 a 16 filas. ¿Se parece más la binomial a la línea de la normal?
4

Ley de los grandes números

Compara la media observada con npnp tras 100 y tras 5000 bolas.

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Errores frecuentes

  • Olvidar el número combinatorio: P(X=5)≠0,510P(X = 5) \ne 0{,}5^{10}.
  • Usar la normal con nn pequeño o pp extremo.
  • Confundir σ\sigma con σ2\sigma^2 al pasar a la normal.

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Herramientas relacionadas

Combinatoria

Contar caminos.

Distribución normal

Calcular con la campana.

Estimar π

Otro experimento con azar.
Última modificación el 6 de octubre de 2026