Las ideas clave del bloque
Derivar en varias variables
Una derivada parcial mide cómo cambia la función al mover una sola variable. El gradiente las reúne en un vector que apunta hacia donde la función crece más deprisa. La hessiana reúne las derivadas segundas y describe la curvatura.Optimizar
Los extremos están donde ; la hessiana dice si son máximos, mínimos o puntos de silla. Si hay restricciones, los multiplicadores de Lagrange exigen que los gradientes de la función y de la restricción sean paralelos.Integrar
Las integrales dobles y triples se calculan como integrales simples encadenadas (Fubini). Cambiar a coordenadas polares, cilíndricas o esféricas simplifica el recinto, a cambio de multiplicar por el jacobiano.Campos vectoriales
La divergencia mide fuentes y sumideros; el rotacional, giros. Los teoremas de Green, Stokes y Gauss relacionan la integral de una derivada en una región con la de la función en su borde.Orden recomendado
1
Derivadas parciales
Parciales, gradiente, derivada direccional y regla de la cadena.
2
Taylor en varias variables
Plano tangente, hessiana y aproximación cuadrática.
3
Extremos y Lagrange
Puntos críticos, criterio de la hessiana y extremos condicionados.
4
Integrales múltiples
Fubini, cambio de orden y cambio de coordenadas.
5
Cálculo vectorial
Divergencia, rotacional y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.
Temas de este bloque
Derivadas parciales
Derivadas parciales de funciones de varias variables: cómo se calculan, interpretación geométrica, vector gradiente, derivada direccional, diferenciabilidad, regla de la cadena y derivación implícita, con ejemplos resueltos.
Taylor en varias variables
El desarrollo de Taylor de una función de dos o más variables: plano tangente, aproximación lineal, matriz hessiana, aproximación cuadrática y estimación de errores con diferenciales, con ejemplos resueltos.
Extremos y Lagrange
Extremos de funciones de varias variables: puntos críticos, criterio de la hessiana, puntos de silla, extremos absolutos en un recinto cerrado y extremos condicionados con multiplicadores de Lagrange, con ejemplos resueltos.
Integrales múltiples
Integrales dobles y triples: teorema de Fubini, cambio del orden de integración, recintos de tipo I y II, cambio de variable con el jacobiano, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, y aplicaciones a áreas, volúmenes, masas y centros de masa.
Cálculo vectorial
Cálculo vectorial explicado: campos vectoriales, divergencia y rotacional, campos conservativos y potencial, integrales de línea y de superficie, flujo, y los teoremas de Green, Stokes y Gauss (divergencia), con ejemplos resueltos.
Simuladores de varias variables en Simulab
Superficies en 3D
Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente.
Campo eléctrico
Un campo vectorial y su potencial, con líneas de campo y equipotenciales.