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Una sucesión es una lista infinita de números: 1,12,13,14,…1, \frac12, \frac13, \frac14, \dots Una serie es lo que se obtiene al sumarlos todos. ¿Puede una suma de infinitos números dar un resultado finito? A veces sí: 12+14+18+⋯=1\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 1. Otras veces no: 1+12+13+⋯1 + \frac12 + \frac13 + \cdots crece sin límite. Los criterios de convergencia permiten saber qué pasa sin tener que sumar. Son la base de las series de potencias, de Taylor y de Fourier.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es el límite de una sucesión y cómo se calcula.
  • Por qué toda sucesión monótona y acotada converge.
  • Qué es una serie y cuándo converge.
  • Las series que sirven de referencia: geométrica, armónica y pp-series.
  • Los criterios de convergencia y cuándo usar cada uno.
  • La diferencia entre convergencia absoluta y condicional.

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Fundamentos teóricos

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Sucesiones y su límite

Una sucesión (an)(a_n) converge a LL si sus términos se acercan a LL tanto como se quiera a partir de cierto nn: lim⁡n→∞an=L\lim_{n\to\infty} a_n = L Se calculan como los límites de funciones en el infinito: comparando grados, dividiendo por la mayor potencia o con infinitos equivalentes. Jerarquía de infinitos (de menor a mayor): ln⁡n≪np≪an≪n!≪nn\ln n \ll n^p \ll a^n \ll n! \ll n^n, con p>0p > 0 y a>1a > 1. Teorema de la convergencia monótona: una sucesión creciente y acotada superiormente converge (igual decreciente y acotada inferiormente). El número e: lim⁡n→∞(1+1n)n=e≈2,71828lim⁡n→∞(1+an)n=ea\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1n\right)^n = e \approx 2{,}71828 \qquad \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a

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Series

La serie ∑n=1∞an\sum_{n=1}^\infty a_n es el límite de las sumas parciales SN=a1+⋯+aNS_N = a_1 + \cdots + a_N. Si ese límite existe y es finito, la serie converge; si no, diverge.

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Series de referencia

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Condición necesaria

∑an converge  ⇒  an→0\sum a_n \text{ converge} \;\Rightarrow\; a_n \to 0 Por tanto, si an↛0a_n \not\to 0, la serie diverge. Pero que an→0a_n \to 0 no basta: la armónica es el ejemplo.

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Criterios para series de términos positivos

Si en el cociente o la raíz sale L=1L = 1, el criterio no decide: hay que usar otro.

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Series alternadas: criterio de Leibniz

∑(−1)nbn\sum (-1)^n b_n con bn>0b_n > 0 converge si bnb_n es decreciente y bn→0b_n \to 0. Además, el error al cortar la suma es menor que el primer término despreciado.

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Convergencia absoluta y condicional

  • Absoluta: converge ∑∣an∣\sum |a_n|. Entonces ∑an\sum a_n también converge, y se puede reordenar sin cambiar la suma.
  • Condicional: converge ∑an\sum a_n pero no ∑∣an∣\sum |a_n|. Ejemplo: ∑(−1)n+1n=ln⁡2\sum\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2. Reordenando sus términos se puede obtener cualquier suma (teorema de Riemann).

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Estrategia

  1. ¿an→0a_n \to 0? Si no, diverge.
  2. ¿Es una serie conocida (geométrica, pp-serie, telescópica)?
  3. ¿Hay factoriales o ana^n? Cociente. ¿Potencias nn-ésimas? Raíz.
  4. ¿Es un cociente de polinomios o raíces? Comparación en el límite con 1np\frac{1}{n^p}.
  5. ¿Es alternada? Leibniz, y luego mira si converge absolutamente.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Límite de una sucesión

lim⁡n→∞3n2−n5n2+2=35\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2 - n}{5n^2 + 2} = \frac35, comparando los coeficientes de mayor grado.lim⁡n→∞(1+2n)3n=(e2)3=e6\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^{3n} = \left(e^2\right)^3 = e^6.
∑n=1∞34n=3⋅1/41−1/4=1\sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n} = 3\cdot\frac{1/4}{1 - 1/4} = 1.Y 0,999…=∑n=1∞910n=9⋅1/109/10=10{,}999\ldots = \sum_{n=1}^\infty \frac{9}{10^n} = 9\cdot\frac{1/10}{9/10} = 1.
∑n=1∞1n(n+1)=∑(1n−1n+1)\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)} = \sum\left(\frac1n - \frac{1}{n+1}\right). La suma parcial es 1−1N+11 - \frac{1}{N+1}, que tiende a 1.
∑2nn!\sum\frac{2^n}{n!}: an+1an=2n+1→0<1\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{n+1} \to 0 < 1. Converge (sumando desde n=1n = 1, da e2−1e^2 - 1).∑n!3n\sum\frac{n!}{3^n}: an+1an=n+13→∞\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3} \to \infty. Diverge.
∑n+1n3+2\sum\frac{n + 1}{n^3 + 2}. Se comporta como nn3=1n2\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}: lim⁡(n+1)/(n3+2)1/n2=1\lim\frac{(n+1)/(n^3+2)}{1/n^2} = 1.Como ∑1n2\sum\frac{1}{n^2} converge (p=2>1p = 2 > 1), la serie converge.En cambio ∑1n2+1\sum\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} se comporta como 1n\frac1n: diverge.
∑(n2n+1)n\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n: ann=n2n+1→12<1\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12 < 1. Converge.
∑n≥21nln⁡n\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n}: ∫2∞dxxln⁡x=[ln⁡(ln⁡x)]2∞=∞\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \Big[\ln(\ln x)\Big]_2^\infty = \infty. Diverge, aunque muy despacio.
∑(−1)nn\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}: 1n\frac{1}{\sqrt n} decrece a 0, así que converge por Leibniz. Pero ∑1n\sum\frac{1}{\sqrt n} diverge (p=12p = \frac12): convergencia condicional.∑(−1)nn2\sum\frac{(-1)^n}{n^2}: converge absolutamente.

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Errores frecuentes

  • Creer que an→0a_n \to 0 asegura la convergencia. Es necesario, no suficiente.
  • Concluir con L=1L = 1 en el cociente o la raíz. Ahí el criterio no dice nada.
  • Confundir la sucesión con la serie. 1n→0\frac1n \to 0 (la sucesión converge), pero ∑1n\sum\frac1n diverge.
  • Aplicar Leibniz sin comprobar que bnb_n decrece.
  • Empezar la geométrica en el índice equivocado. ∑n=0∞rn=11−r\sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}, pero ∑n=1∞rn=r1−r\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}.

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Preguntas frecuentes

Porque los términos se hacen pequeños lo bastante deprisa. Es la paradoja de Aquiles y la tortuga: recorrer la mitad, luego la cuarta parte, luego la octava… da un número infinito de tramos, pero su suma es una distancia finita, ∑12n=1\sum\frac{1}{2^n} = 1.
Para aproximar funciones con series de Taylor y de Fourier, estimar errores al truncar una suma, analizar algoritmos (sumas de costes) y en la transformada Z, que es una serie de potencias.

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Última modificación el 12 de octubre de 2026