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Un punto material solo se traslada; un sólido rígido además gira. Una rueda, una puerta, una peonza o la Tierra tienen tamaño y forma, y para describir su movimiento hacen falta las versiones “de rotación” de la fuerza, la masa y el momento lineal: el par, el momento de inercia y el momento angular. Con ellas, las leyes de Newton explican por qué una patinadora gira más rápido al encoger los brazos o por qué un cilindro macizo baja una rampa antes que uno hueco.

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Lo que vas a aprender

  • Las magnitudes angulares: posición, velocidad y aceleración angular.
  • Qué es el momento de una fuerza y cómo se calcula.
  • El momento de inercia, su tabla y el teorema de Steiner.
  • La segunda ley de Newton para la rotación.
  • La energía cinética de rotación y la rodadura.
  • El momento angular y su conservación.

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Fundamentos teóricos

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Analogía entre traslación y rotación

Las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado son las mismas que las del MRUA, cambiando cada magnitud por su angular.

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Momento de una fuerza

τ=r×F∣τ∣=r Fsen⁡φ=F d\boldsymbol\tau = \mathbf{r}\times\mathbf{F} \qquad |\tau| = r\,F\operatorname{sen}\varphi = F\,d dd es el brazo: la distancia del eje a la línea de acción de la fuerza. Por eso las manillas están lejos de las bisagras y una llave larga afloja mejor una tuerca. Se mide en N·m.

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Momento de inercia

Mide la resistencia a cambiar la rotación. No depende solo de la masa, sino de cómo se reparte respecto del eje: I=∑mi ri2I=∫r2 dmI = \sum m_i\,r_i^2 \qquad I = \int r^2\,dm Las fórmulas salen de integrales como las del tema de integrales múltiples.

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Teorema de Steiner (ejes paralelos)

I=Icm+M d2I = I_{cm} + M\,d^2 El momento respecto de un eje es el del eje paralelo por el centro de masas más Md2Md^2. Por eso el mínimo siempre está en el eje que pasa por el centro de masas.

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Segunda ley de Newton para la rotación

∑τ=I α\sum\tau = I\,\alpha Para un sistema con poleas y cuerdas, se escribe F=maF = ma para cada masa que se traslada y τ=Iα\tau = I\alpha para cada polea, con a=αRa = \alpha R si la cuerda no desliza.

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Energía y rodadura

Un cuerpo que rueda sin deslizar tiene vcm=ωRv_{cm} = \omega R y su energía cinética es la suma de la de traslación y la de rotación: Ec=12Mvcm2+12Icmω2E_c = \tfrac12 M v_{cm}^2 + \tfrac12 I_{cm}\omega^2 Bajando una rampa de altura hh desde el reposo, con I=k MR2I = k\,MR^2: v=2gh1+kv = \sqrt{\frac{2gh}{1 + k}} Cuanto menor es kk, más rápido llega: esfera maciza (k=25k = \frac25) antes que cilindro macizo (12\frac12), y este antes que el aro (11). La masa y el radio no influyen.

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Momento angular

L=r×pL=I ω (soˊlido que gira en torno a un eje fijo)\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} \qquad L = I\,\omega \text{ (sólido que gira en torno a un eje fijo)} ∑τext=dLdt\sum\boldsymbol\tau_{\text{ext}} = \frac{d\mathbf{L}}{dt} Conservación: si el par externo es nulo, L\mathbf{L} se conserva: I1ω1=I2ω2I_1\omega_1 = I_2\omega_2. Explica el giro de los patinadores, la estabilidad de una bicicleta en marcha, la segunda ley de Kepler y la precesión de las peonzas y los giroscopios.

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Equilibrio estático

Un sólido está en equilibrio si ∑F=0∑τ=0\sum\mathbf{F} = \mathbf{0} \qquad \sum\boldsymbol\tau = \mathbf{0} respecto de cualquier punto. Conviene tomar momentos respecto del punto donde actúan más fuerzas desconocidas.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Momento de una fuerza

Se empuja una puerta de 0,8 m de ancho con 20 N, perpendicular, en la manilla: τ=0,8⋅20=16\tau = 0{,}8\cdot20 = 16 N·m.A 20 cm de las bisagras haría falta F=16/0,2=80F = 16/0{,}2 = 80 N para el mismo efecto.
Varilla de 2 kg y 1,2 m. Respecto del centro: I=112⋅2⋅1,44=0,24I = \frac{1}{12}\cdot2\cdot1{,}44 = 0{,}24 kg·m².Respecto de un extremo: I=0,24+2⋅0,62=0,96I = 0{,}24 + 2\cdot0{,}6^2 = 0{,}96 kg·m², que coincide con 13ML2\frac13ML^2.
Una masa de 2 kg cuelga de una cuerda enrollada en un disco de 4 kg y radio 0,1 m. ¿Aceleración?Masa: mg−T=mamg - T = ma. Disco: TR=12MR2⋅aR⇒T=12Ma=2aTR = \frac12 MR^2\cdot\frac{a}{R} \Rightarrow T = \frac12 Ma = 2a.19,6−2a=2a⇒a=4,919{,}6 - 2a = 2a \Rightarrow a = 4{,}9 m/s², la mitad de gg. Con una polea sin masa sería gg.
Rampa de 1 m de altura. Esfera maciza: v=2⋅9,81,4=3,74v = \sqrt{\frac{2\cdot9{,}8}{1{,}4}} = 3{,}74 m/s. Cilindro macizo: 19,61,5=3,61\sqrt{\frac{19{,}6}{1{,}5}} = 3{,}61 m/s. Aro: 19,62=3,13\sqrt{\frac{19{,}6}{2}} = 3{,}13 m/s.Un bloque que deslizara sin rozamiento llegaría a 19,6=4,43\sqrt{19{,}6} = 4{,}43 m/s: no gasta energía en girar.
Gira a 2 vueltas/s con los brazos abiertos (I=4I = 4 kg·m²). Al cerrarlos, I=1,6I = 1{,}6 kg·m².ω2=4⋅21,6=5\omega_2 = \frac{4\cdot2}{1{,}6} = 5 vueltas/s. La energía cinética sube de 12⋅4⋅(4π)2=316\frac12\cdot4\cdot(4\pi)^2 = 316 J a 12⋅1,6⋅(10π)2=790\frac12\cdot1{,}6\cdot(10\pi)^2 = 790 J: la diferencia es el trabajo de sus músculos al encoger los brazos.
Viga de 4 m y 50 kg apoyada en sus extremos, con una carga de 100 kg a 1 m del apoyo A.Momentos respecto de A: RB⋅4=490⋅2+980⋅1⇒RB=490R_B\cdot4 = 490\cdot2 + 980\cdot1 \Rightarrow R_B = 490 N. Fuerzas: RA=490+980−490=980R_A = 490 + 980 - 490 = 980 N.

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Errores frecuentes

  • Usar la distancia al punto de aplicación en lugar del brazo. Si la fuerza no es perpendicular, el brazo es rsen⁡φr\operatorname{sen}\varphi.
  • Tomar el momento de inercia de una tabla con el eje equivocado. El de una varilla por el centro y por el extremo difieren en un factor 4.
  • Olvidar la energía de rotación en problemas de rodadura.
  • Aplicar la conservación del momento angular con pares externos. Solo vale si el par externo neto es cero.
  • Trabajar en rpm o grados. ω\omega va en rad/s: 1 rpm =2π60= \frac{2\pi}{60} rad/s.

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Preguntas frecuentes

Porque así, con la misma masa, el momento de inercia es mayor y almacenan más energía, 12Iω2\frac12 I\omega^2, a la misma velocidad. Se usan en motores, en sistemas de almacenamiento de energía y en el KERS de la Fórmula 1.
El momento angular de las ruedas ayuda algo, pero la causa principal es la geometría de la dirección y las correcciones del ciclista: al inclinarse, la rueda delantera gira hacia ese lado y devuelve la bici a la vertical. Se ha comprobado con bicicletas experimentales sin efecto giroscópico.

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Temas relacionados

Movimiento circular

Velocidad y aceleración angular.

Péndulo esférico

Conservación del momento angular en el simulador.

Energía mecánica

Conservación de la energía.
Última modificación el 12 de octubre de 2026