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Una inecuación es como una ecuación, pero con un signo de desigualdad (<<, ≤\le, >>, ≥\ge) en lugar de un igual. Su solución no es un número, sino un conjunto de números, normalmente uno o varios intervalos. Sirven para expresar condiciones: qué precios dan beneficio, entre qué valores es segura una temperatura, o cuál es el dominio de una función.

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Lo que vas a aprender

  • Las reglas para operar con desigualdades.
  • Cómo expresar las soluciones con intervalos.
  • Cómo resolver inecuaciones de primer grado, de segundo grado y polinómicas.
  • El método de la tabla de signos para las racionales.
  • Las inecuaciones con valor absoluto y los sistemas.

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Fundamentos teóricos

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Reglas de las desigualdades

De −2x<6-2x < 6 se pasa a x>−3x > -3: al dividir entre −2, el << se convierte en >>.

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Intervalos

El infinito siempre va con paréntesis. La unión de intervalos se escribe con ∪\cup.

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Primer grado

Se despeja xx como en una ecuación, recordando cambiar el sentido si se multiplica o divide por un negativo.

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Segundo grado y polinómicas

  1. Se pasa todo a un lado: P(x)>0P(x) > 0 (o <<, ≥\ge, ≤\le).
  2. Se buscan las raíces del polinomio.
  3. Las raíces dividen la recta en intervalos donde el signo no cambia. Se prueba un punto de cada uno (o se usa la factorización).
  4. Se eligen los intervalos con el signo pedido; si la desigualdad es ≥\ge o ≤\le, se incluyen las raíces.
Para ax2+bx+cax^2 + bx + c con a>0a > 0: es negativo entre las raíces y positivo fuera. Si no tiene raíces reales, tiene siempre el signo de aa.

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Racionales

Para P(x)Q(x)>0\frac{P(x)}{Q(x)} > 0:
  1. Raíces del numerador y del denominador.
  2. Tabla de signos con todos los intervalos.
  3. Las raíces del denominador nunca se incluyen (el cociente no existe ahí).
No se puede multiplicar por el denominador para quitarlo, porque no se sabe su signo.

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Valor absoluto

∣x−a∣<r|x - a| < r son los puntos a distancia menor que rr de aa: el intervalo (a−r,a+r)(a - r, a + r).

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Sistemas

Con una incógnita: se resuelve cada inecuación y se toma la intersección. Con dos incógnitas (inecuaciones lineales en xx, yy): cada una es un semiplano, y la solución es la región común. Es la base de la programación lineal.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Primer grado

3(x−2)−5≥7x+13(x - 2) - 5 \ge 7x + 1: 3x−11≥7x+1⇒−4x≥12⇒x≤−33x - 11 \ge 7x + 1 \Rightarrow -4x \ge 12 \Rightarrow x \le -3.Solución: (−∞,−3](-\infty, -3].
x2−x−6<0x^2 - x - 6 < 0. Raíces: x=−2x = -2 y x=3x = 3. Como a>0a > 0, es negativo entre las raíces.Solución: (−2,3)(-2, 3).
x2+2x+5>0x^2 + 2x + 5 > 0: Δ=4−20<0\Delta = 4 - 20 < 0, no tiene raíces y a>0a > 0: es positivo siempre. Solución: R\mathbb{R}.Y x2+2x+5<0x^2 + 2x + 5 < 0 no tiene solución.
x3−4x≥0⇒x(x−2)(x+2)≥0x^3 - 4x \ge 0 \Rightarrow x(x - 2)(x + 2) \ge 0. Raíces: −2, 0, 2.Solución: [−2,0]∪[2,+∞)[-2, 0] \cup [2, +\infty).
x+1x−3≤0\frac{x + 1}{x - 3} \le 0. Raíz del numerador: −1 (incluida). Del denominador: 3 (excluida).Solución: [−1,3)[-1, 3).
∣2x−1∣<5⇒−5<2x−1<5⇒−2<x<3|2x - 1| < 5 \Rightarrow -5 < 2x - 1 < 5 \Rightarrow -2 < x < 3. Solución: (−2,3)(-2, 3).∣x+4∣≥2⇒x≤−6|x + 4| \ge 2 \Rightarrow x \le -6 o x≥−2x \ge -2. Solución: (−∞,−6]∪[−2,+∞)(-\infty, -6] \cup [-2, +\infty).
Una empresa tiene un beneficio B(x)=−x2+40x−300B(x) = -x^2 + 40x - 300 (en miles de euros) al vender xx miles de unidades. ¿Cuándo hay beneficio?−x2+40x−300>0⇒x2−40x+300<0-x^2 + 40x - 300 > 0 \Rightarrow x^2 - 40x + 300 < 0. Raíces: 10 y 30. Hay beneficio si vende entre 10 000 y 30 000 unidades.

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Errores frecuentes

  • No cambiar el sentido al multiplicar o dividir por un negativo.
  • Multiplicar por el denominador en una inecuación racional sin saber su signo.
  • Incluir las raíces del denominador en la solución.
  • Resolver x2<9x^2 < 9 como x<3x < 3. La solución es −3<x<3-3 < x < 3.
  • Usar corchetes con el infinito.

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Preguntas frecuentes

Para calcular dominios de funciones (el radicando de una raíz cuadrada debe ser ≥0\ge 0; el argumento de un logaritmo, >0> 0), para acotar errores, y en la programación lineal, que optimiza costes o beneficios con restricciones de recursos.
Sí: toma un número de dentro de la solución y otro de fuera y sustitúyelos en la inecuación original. El de dentro debe cumplirla y el de fuera no. Comprueba también los extremos.

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Temas relacionados

Ecuación de segundo grado

Las raíces que delimitan los intervalos.

Factorizar polinomios

Factorizar para la tabla de signos.

Transformaciones de funciones

Ver la solución en la gráfica.
Última modificación el 12 de octubre de 2026