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En una ecuación exponencial la incógnita está en el exponente, como 2x=322^x = 32 o 3x+1+3x=363^{x+1} + 3^x = 36. En una ecuación logarítmica está dentro de un logaritmo, como log⁡(x+3)=2\log(x + 3) = 2. Las dos se resuelven con las propiedades de las potencias y de los logaritmos, y aparecen en todos los problemas de crecimiento: poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva o enfriamiento.

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Lo que vas a aprender

  • Los tres métodos para las ecuaciones exponenciales.
  • Cómo resolver ecuaciones logarítmicas y por qué hay que comprobar las soluciones.
  • Cómo resolver sistemas exponenciales y logarítmicos.
  • Las aplicaciones a problemas de crecimiento y decrecimiento.

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Fundamentos teóricos

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Ecuaciones exponenciales

Método 1: igualar bases. Si se pueden escribir los dos lados como potencias de la misma base, se igualan los exponentes: af(x)=ag(x)  ⟺  f(x)=g(x)a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) Método 2: tomar logaritmos. Si no hay una base común: ax=b  ⟺  x=log⁡ab=ln⁡bln⁡aa^x = b \iff x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} Método 3: cambio de variable. Si aparecen axa^x, a2xa^{2x}, ax+1a^{x+1}…, se escribe todo en función de axa^x y se llama t=axt = a^x. Queda una ecuación polinómica en tt. Al final se deshace el cambio, descartando los valores de t≤0t \le 0 (porque ax>0a^x > 0 siempre).

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Ecuaciones logarítmicas

  1. Se agrupan los logaritmos con las propiedades hasta tener log⁡aA=log⁡aB\log_a A = \log_a B (y entonces A=BA = B) o log⁡aA=c\log_a A = c (y entonces A=acA = a^c).
  2. Se resuelve la ecuación que queda.
  3. Se comprueban las soluciones: los argumentos de todos los logaritmos de la ecuación original tienen que ser positivos. Las que no lo cumplen se descartan.

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Sistemas

Se combinan los dos métodos: a veces conviene un cambio de variable (u=2xu = 2^x, v=3yv = 3^y) y otras, aplicar las propiedades para quitar los logaritmos y llegar a un sistema algebraico.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Igualando bases

4x−1=8x4^{x-1} = 8^{x}. En base 2: 22(x−1)=23x2^{2(x-1)} = 2^{3x}.2x−2=3x⇒x=−22x - 2 = 3x \Rightarrow x = -2.
52x=305^{2x} = 30: 2x=ln⁡30ln⁡5=3,4011,609=2,113⇒x=1,0572x = \frac{\ln 30}{\ln 5} = \frac{3{,}401}{1{,}609} = 2{,}113 \Rightarrow x = 1{,}057.
3x+1+3x=363^{x+1} + 3^x = 36: 3⋅3x+3x=4⋅3x=36⇒3x=9⇒x=23\cdot3^x + 3^x = 4\cdot3^x = 36 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2.
4x−6⋅2x+8=04^x - 6\cdot2^x + 8 = 0. Con t=2xt = 2^x: t2−6t+8=0⇒t=2t^2 - 6t + 8 = 0 \Rightarrow t = 2 o t=4t = 4.2x=2⇒x=12^x = 2 \Rightarrow x = 1; 2x=4⇒x=22^x = 4 \Rightarrow x = 2.
e2x−ex−6=0e^{2x} - e^x - 6 = 0. Con t=ext = e^x: t2−t−6=0⇒t=3t^2 - t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3 o t=−2t = -2.ex=−2e^x = -2 es imposible. Solo queda x=ln⁡3=1,099x = \ln 3 = 1{,}099.
log⁡x+log⁡(x−3)=1\log x + \log(x - 3) = 1: log⁡[x(x−3)]=1⇒x2−3x=10⇒x=5\log[x(x - 3)] = 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 10 \Rightarrow x = 5 o x=−2x = -2.Comprobación: con x=−2x = -2, log⁡(−2)\log(-2) no existe. Solución: x=5x = 5.
2ln⁡x=ln⁡(x+6)2\ln x = \ln(x + 6): ln⁡x2=ln⁡(x+6)⇒x2−x−6=0⇒x=3\ln x^2 = \ln(x + 6) \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 o x=−2x = -2.Solo vale x=3x = 3.
{log⁡x+log⁡y=3x−y=90\begin{cases} \log x + \log y = 3 \\ x - y = 90 \end{cases}. La primera da xy=1000xy = 1000.Con x=y+90x = y + 90: y2+90y−1000=0⇒y=10y^2 + 90y - 1000 = 0 \Rightarrow y = 10 (la otra raíz, −100, no vale). x=100x = 100.
Un cultivo de bacterias se duplica cada 3 horas: N=N0⋅2t/3N = N_0\cdot2^{t/3}. ¿Cuándo se multiplica por 1000?2t/3=1000⇒t3=ln⁡1000ln⁡2=9,97⇒t=29,92^{t/3} = 1000 \Rightarrow \frac{t}{3} = \frac{\ln 1000}{\ln 2} = 9{,}97 \Rightarrow t = 29{,}9 horas.

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Errores frecuentes

  • No comprobar las soluciones de una ecuación logarítmica.
  • Aceptar valores negativos de t=axt = a^x en el cambio de variable.
  • Aplicar log⁡(A+B)=log⁡A+log⁡B\log(A + B) = \log A + \log B. No existe esa propiedad.
  • Tomar logaritmos en una suma término a término: de 2x+3x=102^x + 3^x = 10 no se puede pasar a xlog⁡2+xlog⁡3=log⁡10x\log 2 + x\log 3 = \log 10.
  • Olvidar que ax+1=a⋅axa^{x+1} = a\cdot a^x, no ax+1a^x + 1.

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Preguntas frecuentes

No. Algo como 2x=x+32^x = x + 3 mezcla una exponencial y un polinomio, y no se puede despejar con funciones elementales. Se resuelve de forma aproximada con métodos numéricos o gráficamente.
El tiempo en que una cantidad que decrece exponencialmente se reduce a la mitad. Si N=N0e−ktN = N_0e^{-kt}, la vida media es t1/2=ln⁡2kt_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}. Se usa en la radiactividad y en la eliminación de fármacos: ver cinética química.

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Temas relacionados

Logaritmos

Definición y propiedades.

Resolver ecuaciones

Ecuaciones paso a paso.

Ecuación de segundo grado

La que aparece tras el cambio de variable.
Última modificación el 12 de octubre de 2026