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¿Cómo se desarrolla (a+b)7(a + b)^7 sin multiplicar el binomio siete veces? El binomio de Newton da directamente todos los términos con unos coeficientes que se leen en el triángulo de Pascal y que son los mismos números combinatorios que cuentan de cuántas formas se pueden elegir kk elementos de nn. Sirve en álgebra, en probabilidad (la distribución binomial) y en aproximaciones numéricas.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un número combinatorio y sus propiedades.
  • Cómo construir el triángulo de Pascal.
  • La fórmula del binomio de Newton y su término general.
  • Cómo encontrar un término concreto sin desarrollar todo.
  • La relación con la combinatoria y la probabilidad.

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Fundamentos teóricos

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Números combinatorios

(nk)=n!k! (n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!} Se lee ”nn sobre kk” y cuenta las formas de elegir kk elementos de un grupo de nn sin que importe el orden. Para calcularlos rápido: (nk)=n(n−1)⋯(n−k+1)k!\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}. Por ejemplo, (83)=8⋅7⋅66=56\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6}{6} = 56.

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Triángulo de Pascal

Cada número es la suma de los dos que tiene encima:
La fila nn contiene (n0),(n1),…,(nn)\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}.

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El binomio de Newton

(a+b)n=∑k=0n(nk) an−k bk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k
  • Hay n+1n + 1 términos.
  • Las potencias de aa bajan de nn a 0 y las de bb suben de 0 a nn; en cada término suman nn.
  • Los coeficientes son la fila nn del triángulo.
  • Para (a−b)n(a - b)^n los signos se alternan: +,−,+,…+, -, +, \dots

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Término general

El término que ocupa el lugar k+1k + 1 es Tk+1=(nk) an−k bkT_{k+1} = \binom{n}{k}\,a^{n-k}\,b^k Con él se calcula un término concreto sin escribir el desarrollo completo.

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Relación con la probabilidad

Si un experimento tiene probabilidad pp de éxito y se repite nn veces, la probabilidad de kk éxitos es el término (nk)pkqn−k\binom{n}{k}p^kq^{n-k} del desarrollo de (q+p)n(q + p)^n, con q=1−pq = 1 - p. Es la distribución binomial, y la suma de todos los términos es (q+p)n=1(q + p)^n = 1.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Desarrollo completo

(x+2)4(x + 2)^4, con la fila 1, 4, 6, 4, 1:x4+4x3⋅2+6x2⋅4+4x⋅8+16=x4+8x3+24x2+32x+16x^4 + 4x^3\cdot2 + 6x^2\cdot4 + 4x\cdot8 + 16 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.
(2x−1)3=(2x)3−3(2x)2+3(2x)−1=8x3−12x2+6x−1(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2 + 3(2x) - 1 = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1.
Término en x5x^5 de (x+3)8(x + 3)^8: con a=xa = x, b=3b = 3, hace falta n−k=5n - k = 5, así que k=3k = 3.T4=(83)x5⋅33=56⋅27 x5=1512 x5T_4 = \binom{8}{3}x^5\cdot3^3 = 56\cdot27\,x^5 = 1512\,x^5.
En (x2+1x)6\left(x^2 + \frac1x\right)^6: Tk+1=(6k)(x2)6−kx−k=(6k)x12−3kT_{k+1} = \binom6k(x^2)^{6-k}x^{-k} = \binom6k x^{12 - 3k}.Independiente si 12−3k=012 - 3k = 0, es decir k=4k = 4: (64)=15\binom64 = 15.
1,0210=(1+0,02)10≈1+10⋅0,02+45⋅0,0004+120⋅0,000008=1,218961{,}02^{10} = (1 + 0{,}02)^{10} \approx 1 + 10\cdot0{,}02 + 45\cdot0{,}0004 + 120\cdot0{,}000008 = 1{,}21896.El valor exacto es 1,21899: con cuatro términos, el error es de tres cienmilésimas.
Se lanza una moneda 5 veces. Probabilidad de exactamente 2 caras: (52)(12)5=1032=0,3125\binom52\left(\frac12\right)^5 = \frac{10}{32} = 0{,}3125.

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Errores frecuentes

  • Olvidar elevar el coeficiente de la variable: en (2x+1)3(2x + 1)^3, el primer término es (2x)3=8x3(2x)^3 = 8x^3, no 2x32x^3.
  • Olvidar los signos alternos con una resta.
  • Confundir el término kk con el k+1k + 1: el término general (nk)an−kbk\binom{n}{k}a^{n-k}b^k ocupa el lugar k+1k + 1.
  • Pensar que (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2. Falta el término 2ab2ab.

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Preguntas frecuentes

Sí, con el binomio generalizado: (1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+⋯(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \cdots, pero entonces la suma tiene infinitos términos y solo converge si ∣x∣<1|x| < 1. Es una serie de potencias, y de ahí sale la aproximación (1+x)n≈1+nx(1 + x)^n \approx 1 + nx.
En España e Italia se asocia a Niccolò Tartaglia (siglo XVI), y en Francia y el mundo anglosajón a Blaise Pascal, que estudió sus propiedades en 1654. Pero ya lo conocían los matemáticos chinos (Yang Hui, siglo XIII) y persas (Omar Jayam, siglo XI).

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Última modificación el 12 de octubre de 2026