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Abrir el simulador

La tangente sigue al ratón, la secante muestra el límite y las sumas de Riemann se acercan al área exacta.
El cálculo se apoya en dos ideas. La derivada mide lo rápido que cambia una función: es la pendiente de su tangente. La integral mide cuánto se acumula: es el área bajo la curva. Parecen cosas distintas, pero son operaciones inversas. Este simulador permite ver las dos.

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Lo que vas a aprender

  • La derivada como límite de las pendientes de las secantes.
  • Qué dice el signo de la derivada sobre la función.
  • La integral definida como límite de sumas de Riemann.
  • Los distintos métodos de aproximación y su precisión.
  • El teorema fundamental del cálculo.

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Cómo se usa el simulador

  • Modo: Derivada o Integral.
  • Función: x2x^2, x3−3xx^3 - 3x, sin⁡x\sin x, exe^x o xsin⁡xx \sin x.
Derivada
  • Mueve el punto x₀ (o el ratón sobre la gráfica): la tangente te sigue y abajo se dibuja f′(x)f'(x).
  • Activa la secante y reduce h: verás cómo se pega a la tangente. El panel compara las dos pendientes.
Integral
  • Elige los límites a y b, el número de rectángulos n y el método: izquierda, derecha, punto medio o trapecios. Compara la suma con el valor exacto.

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Fundamentos teóricos

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Tasa de variación media: la secante

La pendiente de la recta que pasa por (x0,f(x0))(x_0, f(x_0)) y (x0+h,f(x0+h))(x_0 + h, f(x_0 + h)) es: f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} Es la tasa de variación media: cuánto cambia ff, de media, en ese intervalo.

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Derivada: la tangente

Al hacer hh cada vez más pequeño, la secante se convierte en la tangente: f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
  • f′>0f' > 0: ff crece.
  • f′<0f' < 0: ff decrece.
  • f′=0f' = 0: tangente horizontal: posible máximo, mínimo o punto de inflexión.
La derivada no existe donde hay picos, saltos o tangentes verticales.

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Integral definida: el área

Para calcular el área bajo ff entre aa y bb, se parte el intervalo en nn trozos de ancho Δx=(b−a)/n\Delta x = (b - a)/n y se suman rectángulos: ∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑i=1nf(xi∗) Δx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x xi∗x_i^* es el punto de cada trozo donde se mide la altura: el extremo izquierdo, el derecho, el punto medio… El área por debajo del eje X cuenta en negativo.

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Precisión de los métodos

Con el punto medio o los trapecios, duplicar nn divide el error entre 4.

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Teorema fundamental del cálculo

Si F′=fF' = f: ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) Derivar e integrar son operaciones inversas: la integral se calcula buscando una función cuya derivada sea la que nos dan.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Sumas de Riemann

∫02x2 dx\int_0^2 x^2\,dx con n=4n = 4, Δx=0,5\Delta x = 0{,}5:
  • Izquierda: 0,5(0+0,25+1+2,25)=1,750{,}5(0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75.
  • Punto medio: 0,5(0,0625+0,5625+1,5625+3,0625)=2,6250{,}5(0{,}0625 + 0{,}5625 + 1{,}5625 + 3{,}0625) = 2{,}625.
  • Trapecios: 2,752{,}75.
Exacto: [x33]02=83≈2,667\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac83 \approx 2{,}667. El punto medio es el más cercano.
f(x)=x2f(x) = x^2 en x0=1x_0 = 1: (1+h)2−1h=2h+h2h=2+h→2\dfrac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \dfrac{2h + h^2}{h} = 2 + h \to 2.
f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x: f′(x)=3x2−3=0⇒x=±1f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1. f(−1)=2f(-1) = 2 es un máximo y f(1)=−2f(1) = -2, un mínimo.

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Experimenta con el simulador

1

De secante a tangente

Con x2x^2 en x0=1x_0 = 1, reduce hh de 1,5 a 0,01. ¿A qué valor se acerca la pendiente de la secante?
2

Tangentes horizontales

Con x3−3xx^3 - 3x, busca los puntos donde la pendiente es 0. ¿Qué pasa con f′f' ahí?
3

Más rectángulos

En el modo integral, duplica nn varias veces con el método de la izquierda y luego con el punto medio. ¿Cuál mejora más rápido?
4

Área negativa

Integra sin⁡x\sin x entre 0 y 2π2\pi. ¿Por qué sale 0?

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Errores frecuentes

  • Pensar que la derivada es la función dividida entre xx.
  • Confundir la integral definida con el área geométrica cuando la función cambia de signo.
  • Creer que la tangente solo toca la curva en un punto. Puede cortarla en otros.

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Herramientas relacionadas

Derivadas paso a paso

Las reglas de derivación.

Integrales paso a paso

Primitivas y regla de Barrow.

Límites paso a paso

El límite que define la derivada.
Última modificación el 6 de octubre de 2026