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Integrales inmediatas y definidas con cada regla explicada y el área dibujada.
Integrar es deshacer una derivada: buscar una función FF cuya derivada sea la que te dan. No hay reglas tan automáticas como al derivar, pero la mayoría de las integrales de bachillerato son inmediatas (leer la tabla de derivadas al revés) o se convierten en inmediatas con un cambio de variable.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es una primitiva y por qué se suma CC.
  • La tabla de integrales inmediatas.
  • Las integrales de tipo “función compuesta” y el cambio de variable.
  • La integral definida, la regla de Barrow y el cálculo de áreas.

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Cómo se usa la herramienta

  1. Elige Indefinida o Definida (en la definida, escribe los límites).
  2. Escribe la función, por ejemplo 3x^2 + 2x − 5.
  3. Pulsa Integrar: verás la primitiva, el paso a paso con cada regla y la gráfica. En la definida, además, el valor con la regla de Barrow y el área sombreada.
La herramienta comprueba el resultado derivándolo, y te avisa si la integral no es inmediata.

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Fundamentos teóricos

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Primitiva

FF es una primitiva de ff si F′=fF' = f. Si FF lo es, también lo es F+CF + C para cualquier constante, porque la derivada de una constante es 0: ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

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Linealidad

∫(f+g) dx=∫f dx+∫g dx∫k f dx=k∫f dx\int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx \qquad \int k\,f\,dx = k\int f\,dx

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Tabla de integrales inmediatas

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Funciones compuestas

Si dentro hay algo lineal, ax+bax + b, se integra igual y se divide entre aa: ∫cos⁡(2x) dx=sin⁡2x2\int \cos(2x)\,dx = \dfrac{\sin 2x}{2}. Si un factor es la derivada de lo de dentro del otro, la integral es inmediata: ∫f′(x) g(f(x)) dx=G(f(x))\int f'(x)\,g\big(f(x)\big)\,dx = G\big(f(x)\big) Por ejemplo, ∫2xx2+1 dx=ln⁡(x2+1)\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1), porque 2x2x es la derivada de x2+1x^2 + 1.

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Cambio de variable

Formaliza lo anterior: se llama uu a lo de dentro, se sustituye du=u′ dxdu = u'\,dx, se integra en uu y se deshace el cambio.

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Integral definida y regla de Barrow

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) Requiere que ff sea continua en [a,b][a, b]. Da el área con signo: lo que está por debajo del eje X resta. Para el área geométrica, se parte el intervalo donde ff cambia de signo y se suman valores absolutos.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Polinomio

∫(3x2+2x−5) dx=x3+x2−5x+C\displaystyle\int (3x^2 + 2x - 5)\,dx = x^3 + x^2 - 5x + C.Entre 0 y 2: (8+4−10)−0=2(8 + 4 - 10) - 0 = 2.
∫e3x dx=e3x3+C\displaystyle\int e^{3x}\,dx = \frac{e^{3x}}{3} + C; ∫cos⁡(2x) dx=sin⁡2x2+C\displaystyle\int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin 2x}{2} + C.
∫2x (x2+1)3 dx\displaystyle\int 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx. Con u=x2+1u = x^2 + 1, du=2x dxdu = 2x\,dx: ∫u3 du=u44=(x2+1)44+C\displaystyle\int u^3\,du = \frac{u^4}{4} = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C.
∫x ex2 dx=12∫2x ex2 dx=ex22+C\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac12\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e^{x^2}}{2} + C.
∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=1−(−1)=2\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 - (-1) = 2.

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Errores frecuentes

  • Olvidar la constante CC en las indefinidas.
  • Integrar 1/x1/x como potencia: con n=−1n = -1 la fórmula falla; es ln⁡∣x∣\ln|x|.
  • Olvidar dividir entre el coeficiente de dentro: ∫e3xdx≠e3x\int e^{3x}dx \ne e^{3x}.
  • Aplicar Barrow con discontinuidades en el intervalo.

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Herramientas relacionadas

Derivada e integral

Sumas de Riemann y área.

Derivadas paso a paso

La tabla que se lee al revés.

Ecuaciones diferenciales

Integrar para resolver ecuaciones.
Última modificación el 6 de octubre de 2026