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Abrir la herramienta

Escribe la función y el punto: verás la indeterminación y cómo se resuelve, con tabla de valores y gráfica.
El límite responde a la pregunta: ¿a qué valor se acerca una función cuando xx se acerca a un punto? A veces basta con sustituir. Otras veces sale algo como 0/00/0, que no dice nada, y hay que trabajar un poco más. Los límites son la base de la continuidad, las asíntotas y las derivadas.

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Lo que vas a aprender

  • Qué es un límite y los límites laterales.
  • Cuándo basta con sustituir.
  • Las indeterminaciones y cómo resolver cada una.
  • La regla de L’Hôpital.
  • Límites en el infinito y asíntotas.

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Cómo se usa la herramienta

  1. Escribe el punto (o pulsa x → ∞ o x → −∞) y la función.
  2. Pulsa Calcular.
  3. Verás el resultado, el paso a paso (qué indeterminación sale y cómo se resuelve), una gráfica y una tabla de valores acercándose por la izquierda y por la derecha.

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Fundamentos teóricos

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Definición intuitiva

lim⁡x→af(x)=L\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L significa que f(x)f(x) se acerca tanto como queramos a LL cuando xx se acerca a aa, sin importar lo que valga (o si existe) f(a)f(a).

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Límites laterales

  • Por la izquierda: lim⁡x→a−f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x).
  • Por la derecha: lim⁡x→a+f(x)\displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x).
El límite existe si los dos existen y coinciden.

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El método

  1. Sustituir. Si sale un número, ese es el límite.
  2. Si sale k0\dfrac{k}{0} (k≠0k \ne 0): el límite es ±∞\pm\infty; mira los laterales para el signo. Hay una asíntota vertical.
  3. Si sale una indeterminación, hay que transformar.

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Las indeterminaciones

00∞∞∞−∞0⋅∞1∞00∞0\frac00 \quad \frac{\infty}{\infty} \quad \infty - \infty \quad 0 \cdot \infty \quad 1^\infty \quad 0^0 \quad \infty^0

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Regla de L’Hôpital

Si sale 0/00/0 o ∞/∞\infty/\infty: lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x)\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} Se deriva numerador y denominador por separado (no es la regla del cociente). Se puede repetir.

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Límites en el infinito de cocientes de polinomios

  • Grado del numerador mayor: ±∞\pm\infty.
  • Menor: 0.
  • Igual: cociente de los coeficientes principales → asíntota horizontal.

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Límites notables

lim⁡x→0sin⁡xx=1lim⁡x→0ex−1x=1lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · 0/0 con polinomios

lim⁡x→2x2−4x−2\displaystyle\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}: sale 0/00/0. Factorizando: (x−2)(x+2)x−2=x+2→4\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \to 4.Con L’Hôpital: lim⁡2x/1=4\lim 2x/1 = 4.
lim⁡x→∞3x2+12x2−x=32\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{3x^2 + 1}{2x^2 - x} = \frac32 (mismo grado). Asíntota horizontal y=1,5y = 1{,}5.
lim⁡x→01x\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac1x: por la derecha +∞+\infty, por la izquierda −∞-\infty. No existe; hay asíntota vertical en x=0x = 0.
lim⁡x→∞xex\displaystyle\lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}: ∞/∞\infty/\infty. L’Hôpital: lim⁡1ex=0\lim \dfrac{1}{e^x} = 0. La exponencial crece más rápido que cualquier polinomio.
lim⁡x→∞(1+1x)x=elim⁡x⋅1x=e1=e\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e^{\lim x \cdot \frac1x} = e^1 = e.

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Errores frecuentes

  • Decir que 0/0=00/0 = 0, =1= 1 o “no existe”. Es una indeterminación: hay que calcular.
  • Aplicar L’Hôpital sin indeterminación.
  • Usar la regla del cociente en L’Hôpital.
  • Olvidar los laterales cuando sale k/0k/0.

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Herramientas relacionadas

Derivada e integral

La derivada como límite.

Factorizar polinomios

Para simplificar 0/0.

Derivadas paso a paso

Para aplicar L’Hôpital.
Última modificación el 6 de octubre de 2026