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Abrir el simulador

Aproxima cualquier función por su polinomio de Taylor, sube el grado y mira el error.
¿Cómo calcula una calculadora sin⁡(0,5)\sin(0{,}5) o e1,3e^{1{,}3}? No tiene una tabla con todos los valores: usa polinomios, que solo necesitan sumas y multiplicaciones. El polinomio de Taylor es el polinomio que mejor imita a una función cerca de un punto: tiene su mismo valor, su misma pendiente, su misma curvatura… hasta la derivada que queramos.

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Lo que vas a aprender

  • La fórmula del polinomio de Taylor y de Maclaurin.
  • Los desarrollos de las funciones más importantes.
  • Cómo estimar el error de la aproximación.
  • Qué es el radio de convergencia.

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Cómo se usa el simulador

  1. Escribe una función o elige un ejemplo: sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x, exe^x, ln⁡(1+x)\ln(1 + x), 1/(1−x)1/(1 - x), 1+x\sqrt{1 + x}, arctan⁡x\arctan x, sin⁡x/x\sin x/x.
  2. Ajusta:
  1. ▶ Subir el grado anima el proceso.
  2. Verás el polinomio, la gráfica de ff y PnP_n, el valor de los dos en xx, el error absoluto y el relativo, y la tabla de derivadas en el centro.

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Fundamentos teóricos

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La fórmula

Pn(x)=∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots Cada término añade una derivada más que coincide con la de ff en aa:
  • Grado 0: el mismo valor.
  • Grado 1: la recta tangente.
  • Grado 2: la misma curvatura (una parábola osculatriz).
Con a=0a = 0 se llama polinomio de Maclaurin.

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Desarrollos de Maclaurin que conviene saber

ex=1+x+x22!+x33!+⋯e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯11−x=1+x+x2+x3+⋯\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \qquad \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots 1+x≈1+x2−x28+⋯\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \cdots El seno solo tiene potencias impares (es una función impar) y el coseno, pares.

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El error: resto de Lagrange

f(x)−Pn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n + 1)!}(x - a)^{n+1} para algún cc entre aa y xx. El error es pequeño si xx está cerca de aa y el grado es alto, gracias al factorial del denominador.

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Radio de convergencia

Para algunas funciones, subir el grado mejora la aproximación en todas partes (exe^x, sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x). Para otras, solo en un intervalo: ln⁡(1+x)\ln(1 + x) y 1/(1−x)1/(1 - x) solo se aproximan para ∣x∣<1|x| < 1. Fuera de ese intervalo, subir el grado empeora la aproximación.

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Seno

P5(x)=x−x36+x5120P_5(x) = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120}.P5(0,5)=0,5−0,020833+0,000260=0,479427P_5(0{,}5) = 0{,}5 - 0{,}020833 + 0{,}000260 = 0{,}479427. El valor real es 0,47942550{,}4794255: error de menos de dos millonésimas.
Con P4P_4 de exe^x en x=1x = 1: 1+1+12+16+124=2,708331 + 1 + \tfrac12 + \tfrac16 + \tfrac{1}{24} = 2{,}70833. El real es 2,718282{,}71828: error 0,0099. Con P8P_8 ya es menor que 10−510^{-5}.
1,1≈1+0,12−0,018=1,04875\sqrt{1{,}1} \approx 1 + \dfrac{0{,}1}{2} - \dfrac{0{,}01}{8} = 1{,}04875. Real: 1,0488091{,}048809.
Con grado 1, sin⁡x≈x\sin x \approx x. Es la aproximación que se usa en el péndulo: para 10° (0,1745 rad), sin⁡x=0,1736\sin x = 0{,}1736; el error es del 0,5 %.

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Experimenta con el simulador

1

Pegarse a la función

Con sin⁡x\sin x, sube el grado de 1 a 15 y mira hasta dónde llega el parecido.
2

El radio de convergencia

Con ln⁡(1+x)\ln(1 + x), compara en x=0,5x = 0{,}5 y en x=1,5x = 1{,}5 al subir el grado. ¿En cuál mejora y en cuál empeora?
3

Otro centro

Con exe^x, pon el centro en a=2a = 2 y compara en x=2,5x = 2{,}5 con el desarrollo centrado en 0.

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Errores frecuentes

  • Olvidar los factoriales en los denominadores.
  • Desarrollar en potencias de xx cuando el centro no es 0: deben ser potencias de (x−a)(x - a).
  • Usar el desarrollo fuera de su radio de convergencia.

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Herramientas relacionadas

Derivadas paso a paso

Las derivadas que forman el polinomio.

Límites paso a paso

Taylor resuelve límites difíciles.

Movimiento armónico simple

La aproximación sen x ≈ x en el péndulo.
Última modificación el 6 de octubre de 2026