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Abrir el simulador

Escribe una función de dos variables, gírala en 3D y mira sus derivadas, su gradiente y su plano tangente.
La temperatura de una habitación, la altura de una montaña o el beneficio de una empresa dependen de varias variables. Una función z=f(x,y)z = f(x, y) asocia una altura a cada punto del plano, y su gráfica es una superficie. Las ideas de pendiente, tangente, máximo y mínimo siguen funcionando, pero ahora hay que elegir en qué dirección se mira.

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Lo que vas a aprender

  • Representar una función de dos variables y sus curvas de nivel.
  • Calcular derivadas parciales.
  • Qué es el gradiente y por qué es perpendicular a las curvas de nivel.
  • La ecuación del plano tangente.
  • Encontrar y clasificar puntos críticos con el hessiano.

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Cómo se usa el simulador

  1. Escribe la función (por ejemplo x^2 - y^2) o elige un ejemplo: paraboloide, silla de montar, sin⁡xcos⁡y\sin x\cos y, campana gaussiana, ondas…
  2. Arrastra para girar la superficie. Puedes ocultar el plano tangente o las curvas de nivel.
  1. El panel muestra las derivadas parciales simbólicas, f(x0,y0)f(x_0, y_0), ∂f/∂x\partial f/\partial x, ∂f/∂y\partial f/\partial y, el módulo del gradiente y la ecuación del plano tangente. Si el gradiente se anula, clasifica el punto crítico.

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Fundamentos teóricos

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Curvas de nivel

Son las curvas del plano donde la función tiene la misma altura: f(x,y)=kf(x, y) = k. Como en un mapa topográfico, donde están más juntas, la superficie es más empinada.

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Derivadas parciales

∂f∂x\dfrac{\partial f}{\partial x} es la pendiente al moverse solo en la dirección x (con yy fija). Se calcula derivando respecto a xx y tratando yy como una constante. Igual con ∂f∂y\dfrac{\partial f}{\partial y}.

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Gradiente

∇f=(∂f∂x, ∂f∂y)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y}\right)
  • Apunta en la dirección en que ff sube más deprisa.
  • Su módulo es esa tasa máxima de subida.
  • Es perpendicular a las curvas de nivel.
La derivada direccional en la dirección de un vector unitario u⃗\vec u es ∇f⋅u⃗\nabla f \cdot \vec u.

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Plano tangente

z=f(x0,y0)+fx(x0,y0) (x−x0)+fy(x0,y0) (y−y0)z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0) Es la mejor aproximación lineal de la superficie cerca del punto.

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Puntos críticos y hessiano

Un punto es crítico si ∇f=0\nabla f = 0 (plano tangente horizontal). Para clasificarlo: D=fxx fyy−fxy2D = f_{xx}\,f_{yy} - f_{xy}^2

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Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Punto de silla

f(x,y)=x2−y2f(x, y) = x^2 - y^2: fx=2xf_x = 2x, fy=−2yf_y = -2y, que se anulan en (0,0)(0, 0).fxx=2f_{xx} = 2, fyy=−2f_{yy} = -2, fxy=0f_{xy} = 0: D=−4<0D = -4 < 0. Punto de silla: sube en la dirección x y baja en la y.
La misma función en (1; 0,5)(1;\ 0{,}5): f=0,75f = 0{,}75, fx=2f_x = 2, fy=−1f_y = -1.Plano tangente: z=0,75+2(x−1)−(y−0,5)z = 0{,}75 + 2(x - 1) - (y - 0{,}5). Gradiente (2,−1)(2, -1), de módulo 5=2,24\sqrt5 = 2{,}24.
f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2: crítico en (0,0)(0, 0), D=4>0D = 4 > 0 y fxx=2>0f_{xx} = 2 > 0: mínimo. Las curvas de nivel son circunferencias.

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Experimenta con el simulador

1

Silla de montar

Con x2−y2x^2 - y^2, mueve el punto al origen y mira el plano tangente. ¿Es horizontal? ¿Es un máximo o un mínimo?
2

Gradiente y curvas de nivel

Con cualquier función, comprueba que el gradiente cruza las curvas de nivel en ángulo recto.
3

Muchos críticos

Con sin⁡xcos⁡y\sin x\cos y, busca máximos, mínimos y puntos de silla.
4

Silla de mono

Con x3−3xy2x^3 - 3xy^2, mira el origen. ¿Por qué el hessiano no lo clasifica?

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Errores frecuentes

  • Derivar también la otra variable al hacer una parcial.
  • Pensar que gradiente cero implica máximo o mínimo: puede ser un punto de silla.
  • Olvidar el término fxy2f_{xy}^2 en el hessiano.

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Herramientas relacionadas

Derivadas paso a paso

Las reglas de derivación.

Derivada e integral

La tangente en una variable.

Campo eléctrico

El campo es el gradiente del potencial.
Última modificación el 6 de octubre de 2026