Tabla de derivadas: derivadas inmediatas, reglas de derivación y regla de la cadena

Esta tabla reúne todas las derivadas que hay que saber de memoria, en su forma simple y en su forma compuesta (con la regla de la cadena ya aplicada), junto con las reglas de derivación. Para ver cada paso aplicado a una función concreta, usa el simulador de derivadas paso a paso.

Reglas de derivación

Regla	Fórmula
Constante	$(k)' = 0$
Constante por función	$(k\,f)' = k\,f'$
Suma y resta	$(f \pm g)' = f' \pm g'$
Producto	$(f\,g)' = f'\,g + f\,g'$
Cociente	$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}$
Cadena	$\big(f(g(x))\big)' = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$
Función inversa	$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ , con $y = f(x)$

Potencias y raíces

En la columna compuesta,

u = u(x)

es cualquier función y

u'

su derivada.

Función	Derivada	Forma compuesta
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt x}$	$(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$	$(\sqrt[n]u)' = \frac{u'}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$
$\frac1x$	$-\frac{1}{x^2}$	$\left(\frac1u\right)' = -\frac{u'}{u^2}$

Exponenciales y logaritmos

Función	Derivada	Forma compuesta
$e^x$	$e^x$	$(e^u)' = e^u\,u'$
$a^x$	$a^x\ln a$	$(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$
$\ln x$	$\frac1x$	$(\ln u)' = \frac{u'}{u}$
$\log_a x$	$\frac{1}{x\ln a}$	$(\log_a u)' = \frac{u'}{u\ln a}$

Trigonométricas

Función	Derivada	Forma compuesta
$\operatorname{sen} x$	$\cos x$	$(\operatorname{sen} u)' = \cos u\cdot u'$
$\cos x$	$-\operatorname{sen} x$	$(\cos u)' = -\operatorname{sen} u\cdot u'$
$\tan x$	$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$	$(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$
$\cot x$	$-\frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}$	$(\cot u)' = -\frac{u'}{\operatorname{sen}^2 u}$
$\sec x$	$\sec x\tan x$	$(\sec u)' = \sec u\tan u\cdot u'$
$\csc x$	$-\csc x\cot x$	$(\csc u)' = -\csc u\cot u\cdot u'$

Trigonométricas inversas

Función	Derivada	Forma compuesta
$\operatorname{arcsen} x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	$-\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1 + x^2}$	$\frac{u'}{1 + u^2}$
$\operatorname{arccot} x$	$-\frac{1}{1 + x^2}$	$-\frac{u'}{1 + u^2}$

Hiperbólicas

Función	Derivada
$\operatorname{senh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$\cosh x$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$\operatorname{senh} x$
$\tanh x$	$\frac{1}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$

Técnicas especiales

Derivación logarítmica

Para funciones del tipo

y = f(x)^{g(x)}

, se toma logaritmo y se deriva:

\ln y = g\ln f \;\Rightarrow\; \frac{y'}{y} = g'\ln f + g\frac{f'}{f} \;\Rightarrow\; y' = f^g\left(g'\ln f + \frac{g\,f'}{f}\right)

Derivación implícita

F(x, y) = 0

, se deriva todo respecto de

x

tratando

y

como función de

x

(cada vez que se deriva

y

aparece

y'

) y se despeja

y'

Ejemplos

Ejemplo 1 · Regla de la cadena

y = \operatorname{sen}(3x^2 + 1)

y' = \cos(3x^2 + 1)\cdot6x

y = e^{\cos x}

y' = e^{\cos x}\cdot(-\operatorname{sen} x)

y = \ln(x^2 + 4)

y' = \frac{2x}{x^2 + 4}

Ejemplo 2 · Producto y cociente

y = x^2 e^x

y' = 2x\,e^x + x^2e^x = x(x + 2)e^x

y = \frac{x}{x^2 + 1}

y' = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}

Ejemplo 3 · Cadena dos veces

y = \sqrt{\operatorname{sen}(2x)}

y' = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{sen} 2x}}\cdot\cos 2x\cdot2 = \frac{\cos 2x}{\sqrt{\operatorname{sen} 2x}}

Ejemplo 4 · Derivación logarítmica

y = x^x

\ln y = x\ln x

\frac{y'}{y} = \ln x + 1

y' = x^x(\ln x + 1)

Ejemplo 5 · Derivación implícita

x^2 + y^2 = 25

2x + 2y\,y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}

. En

(3, 4)

y' = -\frac34

Errores frecuentes

Olvidar la regla de la cadena: $(\operatorname{sen} 2x)' = 2\cos 2x$ , no $\cos 2x$ .
Restar al revés en el cociente: es $f'g - fg'$ , con el numerador derivado primero.
Derivar $x^x$ como una potencia ( $x\cdot x^{x-1}$ ) o como una exponencial ( $x^x\ln x$ ). Hace falta derivación logarítmica.
Confundir el signo de la derivada del coseno: $(\cos x)' = -\operatorname{sen} x$ .

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Derivadas paso a paso

Deriva cualquier función con cada regla explicada.

Tabla de integrales

El camino inverso.

Derivadas parciales

Derivar en varias variables.

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Técnicas especiales

Derivación logarítmica

Derivación implícita

Ejemplos

Errores frecuentes

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