Tabla de integrales: integrales inmediatas y métodos de integración

Esta tabla reúne las integrales inmediatas en forma simple y en forma compuesta (cuando el integrando incluye la derivada de una función interior), las integrales habituales que conviene tener a mano y una guía para elegir el método cuando no es inmediata. Para ver la resolución de una integral concreta paso a paso, usa el simulador de integrales paso a paso. Todas las primitivas llevan una constante

+C

, que se omite en las tablas.

Inmediatas

En la columna compuesta,

u = u(x)

u'

es su derivada.

Simple	Compuesta
$\int k\,dx = kx$
$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ( $n \ne -1$ )	$\int u^n u'\,dx = \frac{u^{n+1}}{n+1}$
$\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert$	$\int\frac{u'}{u}\,dx = \ln\lvert u\rvert$
$\int e^x\,dx = e^x$	$\int e^u u'\,dx = e^u$
$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}$	$\int a^u u'\,dx = \frac{a^u}{\ln a}$
$\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x$	$\int\operatorname{sen} u\cdot u'\,dx = -\cos u$
$\int\cos x\,dx = \operatorname{sen} x$	$\int\cos u\cdot u'\,dx = \operatorname{sen} u$
$\int\frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x$	$\int\frac{u'}{\cos^2 u}\,dx = \tan u$
$\int\frac{dx}{\operatorname{sen}^2 x} = -\cot x$	$\int\frac{u'}{\operatorname{sen}^2 u}\,dx = -\cot u$
$\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x$	$\int\frac{u'}{1 + u^2}\,dx = \arctan u$
$\int\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsen} x$	$\int\frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}\,dx = \operatorname{arcsen} u$

Con un parámetro a

Integral	Resultado
$\int\frac{dx}{a^2 + x^2}$	$\frac1a\arctan\frac{x}{a}$
$\int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}$
$\int\frac{dx}{x^2 - a^2}$	$\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$	$\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right\rvert$
$\int\sqrt{a^2 - x^2}\,dx$	$\frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}$
$\int e^{ax}\,dx$	$\frac{e^{ax}}{a}$
$\int\operatorname{sen}(ax)\,dx$	$-\frac{\cos ax}{a}$

Otras integrales habituales

Integral	Resultado
$\int\tan x\,dx$	$-\ln\lvert\cos x\rvert$
$\int\cot x\,dx$	$\ln\lvert\operatorname{sen} x\rvert$
$\int\sec x\,dx$	$\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert$
$\int\ln x\,dx$	$x\ln x - x$
$\int x\,e^x\,dx$	$(x - 1)e^x$
$\int\operatorname{sen}^2 x\,dx$	$\frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen} 2x}{4}$
$\int\cos^2 x\,dx$	$\frac{x}{2} + \frac{\operatorname{sen} 2x}{4}$
$\int e^{ax}\operatorname{sen}(bx)\,dx$	$\frac{e^{ax}\big(a\operatorname{sen} bx - b\cos bx\big)}{a^2 + b^2}$
$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$	$\frac{e^{ax}\big(a\cos bx + b\operatorname{sen} bx\big)}{a^2 + b^2}$

Las de

\operatorname{sen}^2

\cos^2

salen de las fórmulas del ángulo doble.

Integral definida

Regla de Barrow: si

F

es una primitiva de

f

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Propiedad	Fórmula
Intercambiar límites	$\int_a^b f = -\int_b^a f$
Aditividad	$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
Función impar en intervalo simétrico	$\int_{-a}^{a} f = 0$
Función par en intervalo simétrico	$\int_{-a}^{a} f = 2\int_0^a f$
Valor medio	$\bar f = \frac{1}{b - a}\int_a^b f$

Cómo elegir el método

Si el integrando es…	Método
Una función compuesta con su derivada	Inmediata o cambio de variable
Producto de funciones de tipos distintos ( $x\,e^x$ , $x\ln x$ )	Por partes
Cociente de polinomios	División (si el grado de arriba es mayor o igual) y fracciones simples
Potencias de seno y coseno	Identidades trigonométricas o cambio $t = \operatorname{sen} x$ , $t = \cos x$
Raíces de $a^2 \pm x^2$	Cambio trigonométrico
Nada de lo anterior	Puede no tener primitiva elemental: integración numérica

Fracciones simples

Para

\int\frac{P(x)}{Q(x)}dx

con grado de

P

menor que el de

Q

, se factoriza

Q

Factor de $Q$	Fracciones	Integral
$(x - a)$	$\frac{A}{x - a}$	$A\ln\lvert x - a\rvert$
$(x - a)^n$	$\frac{A_1}{x - a} + \cdots + \frac{A_n}{(x - a)^n}$	Logaritmo y potencias
$x^2 + bx + c$ sin raíces	$\frac{Mx + N}{x^2 + bx + c}$	Logaritmo y arcotangente

Ejemplos

Ejemplo 1 · Inmediata compuesta

\int\frac{2x}{x^2 + 3}dx = \ln(x^2 + 3) + C

: el numerador es la derivada del denominador.

Ejemplo 2 · Arcotangente con parámetro

\int\frac{dx}{x^2 + 9} = \frac13\arctan\frac{x}{3} + C

Ejemplo 3 · Fracciones simples

\int\frac{dx}{x^2 - 1} = \int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac12\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C

Ejemplo 4 · Barrow

\int_0^\pi\operatorname{sen} x\,dx = [-\cos x]_0^\pi = 1 + 1 = 2

Errores frecuentes

Aplicar $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ con $n = -1$ . $\int\frac{dx}{x} = \ln|x|$ .
Olvidar el valor absoluto en los logaritmos.
Integrar una compuesta sin que esté la derivada interior. $\int e^{x^2}dx$ no es $\frac{e^{x^2}}{2x}$ ; de hecho no tiene primitiva elemental.
Olvidar la constante $+C$ en las indefinidas.

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