Tabla de transformadas de Laplace: pares y propiedades

Tabla de consulta de la transformada de Laplace unilateral,

F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\,e^{-st}\,dt

, con todas las funciones

f(t)

definidas para

t \ge 0

. La explicación del método, la resolución de ecuaciones diferenciales y los ejemplos están en el tema de la transformada de Laplace.

Funciones elementales

$f(t)$	$F(s)$	Convergencia
$\delta(t)$ (delta de Dirac)	$1$	Todo $s$
$u(t)$ (escalón) o $1$	$\frac1s$	$s > 0$
$t$ (rampa)	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$	$s > 0$
$t^{a}$ ( $a > -1$ )	$\frac{\Gamma(a + 1)}{s^{a+1}}$	$s > 0$
$\sqrt t$	$\frac{\sqrt\pi}{2\,s^{3/2}}$	$s > 0$
$e^{at}$	$\frac{1}{s - a}$	$s > a$
$t\,e^{at}$	$\frac{1}{(s - a)^2}$	$s > a$
$t^n e^{at}$	$\frac{n!}{(s - a)^{n+1}}$	$s > a$

Trigonométricas e hiperbólicas

$f(t)$	$F(s)$
$\operatorname{sen}\omega t$	$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$
$\cos\omega t$	$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$
$e^{at}\operatorname{sen}\omega t$	$\frac{\omega}{(s - a)^2 + \omega^2}$
$e^{at}\cos\omega t$	$\frac{s - a}{(s - a)^2 + \omega^2}$
$t\operatorname{sen}\omega t$	$\frac{2\omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$t\cos\omega t$	$\frac{s^2 - \omega^2}{(s^2 + \omega^2)^2}$
$\operatorname{sen}(\omega t + \varphi)$	$\frac{s\operatorname{sen}\varphi + \omega\cos\varphi}{s^2 + \omega^2}$
$\operatorname{senh} at$	$\frac{a}{s^2 - a^2}$
$\cosh at$	$\frac{s}{s^2 - a^2}$

Funciones de control y señales

$f(t)$	$F(s)$
$u(t - a)$ (escalón retrasado)	$\frac{e^{-as}}{s}$
$\delta(t - a)$	$e^{-as}$
Pulso: 1 entre $a$ y $b$	$\frac{e^{-as} - e^{-bs}}{s}$
$1 - e^{-t/\tau}$ (primer orden)	$\frac{1}{s(\tau s + 1)}$
$\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}$	$\frac{1}{\tau s + 1}$
$\frac{e^{at} - e^{bt}}{a - b}$	$\frac{1}{(s - a)(s - b)}$
Respuesta al impulso de segundo orden, $\zeta < 1$ : $\frac{\omega_n}{\sqrt{1 - \zeta^2}}e^{-\zeta\omega_n t}\operatorname{sen}(\omega_d t)$	$\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}$

Con

\omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \zeta^2}

. Se usa en sistemas de control.

Propiedades

Propiedad	$f(t)$	$F(s)$
Linealidad	$a\,f(t) + b\,g(t)$	$a\,F(s) + b\,G(s)$
Derivada	$f'(t)$	$sF(s) - f(0)$
Derivada segunda	$f''(t)$	$s^2F(s) - s\,f(0) - f'(0)$
Derivada $n$ -ésima	$f^{(n)}(t)$	$s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$
Integral	$\int_0^t f(\tau)\,d\tau$	$\frac{F(s)}{s}$
Desplazamiento en $s$	$e^{at}f(t)$	$F(s - a)$
Desplazamiento en $t$	$f(t - a)\,u(t - a)$	$e^{-as}F(s)$
Escalado	$f(at)$	$\frac1a F\!\left(\frac{s}{a}\right)$
Multiplicar por $t$	$t\,f(t)$	$-F'(s)$
Multiplicar por $t^n$	$t^n f(t)$	$(-1)^n F^{(n)}(s)$
Dividir por $t$	$\frac{f(t)}{t}$	$\int_s^\infty F(\sigma)\,d\sigma$
Convolución	$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau$	$F(s)\,G(s)$
Función periódica de periodo $T$	$f(t + T) = f(t)$	$\frac{1}{1 - e^{-sT}}\int_0^T f(t)e^{-st}dt$

Teoremas del valor inicial y final

f(0^+) = \lim_{s\to\infty} s\,F(s) \qquad \lim_{t\to\infty} f(t) = \lim_{s\to0} s\,F(s)

El del valor final solo vale si

f(t)

tiene límite: todos los polos de

sF(s)

con parte real negativa.

Inversas habituales

$F(s)$	$f(t)$
$\frac{1}{s(s + a)}$	$\frac{1}{a}\left(1 - e^{-at}\right)$
$\frac{1}{s^2(s + a)}$	$\frac{1}{a^2}\left(at - 1 + e^{-at}\right)$
$\frac{1}{(s + a)(s + b)}$	$\frac{e^{-at} - e^{-bt}}{b - a}$
$\frac{s}{(s + a)(s + b)}$	$\frac{b\,e^{-bt} - a\,e^{-at}}{b - a}$
$\frac{1}{s(s^2 + \omega^2)}$	$\frac{1 - \cos\omega t}{\omega^2}$
$\frac{1}{(s^2 + \omega^2)^2}$	$\frac{\operatorname{sen}\omega t - \omega t\cos\omega t}{2\omega^3}$

Para cocientes que no estén en la tabla: fracciones simples y completar cuadrados.

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Laplace en sistemas de control.

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Las ecuaciones que se resuelven con la tabla.

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Teoremas del valor inicial y final

Inversas habituales

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