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Este formulario reúne las identidades trigonométricas que se usan en bachillerato y en la universidad: para simplificar expresiones, resolver ecuaciones, calcular integrales y trabajar con señales y ondas. Para ver de dónde salen las razones en la circunferencia unidad, usa el simulador de la circunferencia unitaria.

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Ángulos notables

Truco: los senos de 0°, 30°, 45°, 60° y 90° son 02,12,22,32,42\frac{\sqrt0}{2}, \frac{\sqrt1}{2}, \frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt3}{2}, \frac{\sqrt4}{2}.

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Identidades fundamentales

sen⁡2α+cos⁡2α=1tan⁡α=sen⁡αcos⁡α\operatorname{sen}^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \qquad \tan\alpha = \frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha} 1+tan⁡2α=1cos⁡2α=sec⁡2α1+cot⁡2α=1sen⁡2α=csc⁡2α1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} = \sec^2\alpha \qquad 1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\operatorname{sen}^2\alpha} = \csc^2\alpha

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Signos por cuadrantes

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Ángulos relacionados

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Suma y resta de ángulos

sen⁡(α±β)=sen⁡αcos⁡β±cos⁡αsen⁡β\operatorname{sen}(\alpha \pm \beta) = \operatorname{sen}\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\operatorname{sen}\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sen⁡αsen⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\beta tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}

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Ángulo doble

sen⁡2α=2sen⁡αcos⁡αtan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\operatorname{sen}2\alpha = 2\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha \qquad \tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} cos⁡2α=cos⁡2α−sen⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sen⁡2α\cos2\alpha = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\operatorname{sen}^2\alpha De ahí salen las fórmulas de reducción de potencias, muy usadas en integrales: sen⁡2α=1−cos⁡2α2cos⁡2α=1+cos⁡2α2\operatorname{sen}^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2} \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}

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Ángulo mitad

sen⁡α2=±1−cos⁡α2cos⁡α2=±1+cos⁡α2tan⁡α2=sen⁡α1+cos⁡α\operatorname{sen}\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \qquad \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\operatorname{sen}\alpha}{1 + \cos\alpha} El signo depende del cuadrante de α2\frac{\alpha}{2}.

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Transformar sumas en productos

sen⁡A+sen⁡B=2sen⁡A+B2cos⁡A−B2sen⁡A−sen⁡B=2cos⁡A+B2sen⁡A−B2\operatorname{sen}A + \operatorname{sen}B = 2\operatorname{sen}\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} \qquad \operatorname{sen}A - \operatorname{sen}B = 2\cos\frac{A + B}{2}\operatorname{sen}\frac{A - B}{2} cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2cos⁡A−cos⁡B=−2sen⁡A+B2sen⁡A−B2\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A + B}{2}\cos\frac{A - B}{2} \qquad \cos A - \cos B = -2\operatorname{sen}\frac{A + B}{2}\operatorname{sen}\frac{A - B}{2} Explican los batidos de dos ondas de frecuencias parecidas: la suma es una onda rápida modulada por una lenta.

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Productos en sumas

sen⁡Acos⁡B=12[sen⁡(A+B)+sen⁡(A−B)]\operatorname{sen}A\cos B = \tfrac12\big[\operatorname{sen}(A + B) + \operatorname{sen}(A - B)\big] cos⁡Acos⁡B=12[cos⁡(A−B)+cos⁡(A+B)]sen⁡Asen⁡B=12[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]\cos A\cos B = \tfrac12\big[\cos(A - B) + \cos(A + B)\big] \qquad \operatorname{sen}A\operatorname{sen}B = \tfrac12\big[\cos(A - B) - \cos(A + B)\big]

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Triángulos cualesquiera

Con lados a,b,ca, b, c opuestos a los ángulos A,B,CA, B, C: RR es el radio de la circunferencia circunscrita. Puedes practicarlos en resolución de triángulos.

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Fórmulas de Euler

eiθ=cos⁡θ+isen⁡θcos⁡θ=eiθ+e−iθ2sen⁡θ=eiθ−e−iθ2ie^{i\theta} = \cos\theta + i\operatorname{sen}\theta \qquad \cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \operatorname{sen}\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} Con ellas, todas las fórmulas anteriores se deducen con álgebra de números complejos.

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Ejemplos

Ejemplo 1 · Seno de 75°

sen⁡75°=sen⁡(45°+30°)=22⋅32+22⋅12=6+24≈0,966\operatorname{sen}75° = \operatorname{sen}(45° + 30°) = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} + \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0{,}966.
Si sen⁡α=35\operatorname{sen}\alpha = \frac35 con α\alpha en el segundo cuadrante: cos⁡α=−1−925=−45\cos\alpha = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\frac45 y tan⁡α=−34\tan\alpha = -\frac34.sen⁡2α=2⋅35⋅(−45)=−2425\operatorname{sen}2\alpha = 2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right) = -\frac{24}{25}.
cos⁡2x=cos⁡x\cos2x = \cos x en [0,2π)[0, 2\pi): 2cos⁡2x−1=cos⁡x⇒2cos⁡2x−cos⁡x−1=02\cos^2x - 1 = \cos x \Rightarrow 2\cos^2x - \cos x - 1 = 0.cos⁡x=1\cos x = 1 o cos⁡x=−12\cos x = -\frac12: x=0x = 0, x=2π3x = \frac{2\pi}{3}, x=4π3x = \frac{4\pi}{3}.
sen⁡(2π⋅440t)+sen⁡(2π⋅444t)=2sen⁡(2π⋅442t)cos⁡(2π⋅2t)\operatorname{sen}(2\pi\cdot440t) + \operatorname{sen}(2\pi\cdot444t) = 2\operatorname{sen}(2\pi\cdot442t)\cos(2\pi\cdot2t).Se oye un la de 442 Hz cuyo volumen sube y baja 4 veces por segundo: así se afina una guitarra de oído.

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Temas relacionados

Circunferencia unitaria

Seno, coseno y tangente en la circunferencia.

Resolución de triángulos

Teoremas del seno y del coseno.

Series de Fourier

Señales como sumas de senos.
Última modificación el 12 de octubre de 2026