Ecuaciones diferenciales de segundo orden: homogéneas, coeficientes indeterminados y oscilaciones

La segunda ley de Newton,

F = ma

, relaciona una fuerza con la segunda derivada de la posición. Por eso un muelle, un péndulo pequeño, la suspensión de un coche o un circuito RLC se describen con una ecuación diferencial de segundo orden. Cuando es lineal y con coeficientes constantes, hay un método que la resuelve siempre, y que explica por qué los sistemas oscilan, se amortiguan o entran en resonancia.

Lo que vas a aprender

La forma de una EDO lineal de segundo orden y la estructura de su solución.
Cómo resolver la homogénea con la ecuación característica.
Los tres casos: raíces reales distintas, raíz doble y raíces complejas.
Cómo buscar una solución particular por coeficientes indeterminados.
El método de variación de parámetros.
La aplicación al oscilador amortiguado, el RLC y la resonancia.

Fundamentos teóricos

La ecuación

a\,y'' + b\,y' + c\,y = f(x)

con

a, b, c

constantes. Si

f(x) = 0

es homogénea; si no, completa.

Estructura de la solución

y = y_h + y_p

$y_h$ : solución general de la homogénea, con dos constantes $C_1, C_2$ .
$y_p$ : una solución particular cualquiera de la completa.

Las constantes se fijan con dos condiciones iniciales,

y(x_0)

y'(x_0)

La homogénea: ecuación característica

Probando

y = e^{rx}

se obtiene

a\,r^2 + b\,r + c = 0

Raíces	Solución $y_h$
Reales distintas $r_1 \ne r_2$	$C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
Real doble $r$	$(C_1 + C_2 x)\,e^{rx}$
Complejas $\alpha \pm \beta i$	$e^{\alpha x}\big(C_1\cos\beta x + C_2\operatorname{sen}\beta x\big)$

Las raíces complejas dan oscilaciones:

\beta

es la frecuencia y

\alpha

dice si crecen (

\alpha > 0

) o se amortiguan (

\alpha < 0

Solución particular: coeficientes indeterminados

Se prueba una

y_p

“de la misma forma” que

f(x)

, con coeficientes por determinar:

$f(x)$	Se prueba $y_p$
Polinomio de grado $n$	Polinomio de grado $n$
$k\,e^{mx}$	$A\,e^{mx}$
$k\cos\omega x$ o $k\operatorname{sen}\omega x$	$A\cos\omega x + B\operatorname{sen}\omega x$
$e^{mx}\cdot$ polinomio	$e^{mx}\cdot$ polinomio del mismo grado

Regla de la multiplicidad: si lo que se prueba ya es solución de la homogénea, se multiplica por

x

(o por

x^2

si la raíz es doble). Es el caso de resonancia.

Variación de parámetros

Para cualquier

f(x)

, si

y_1

y_2

son las soluciones de la homogénea (con

a = 1

y_p = -y_1\int\frac{y_2\,f}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1\,f}{W}\,dx \qquad W = y_1 y_2' - y_1' y_2

W

es el wronskiano. Sirve cuando

f

es, por ejemplo,

\tan x

\frac{1}{x}

, donde los coeficientes indeterminados no funcionan.

El oscilador

Masa-muelle-amortiguador (

m\,x'' + c\,x' + k\,x = F(t)

) y circuito RLC serie (

L\,q'' + R\,q' + \frac{q}{C} = V(t)

) son la misma ecuación:

Mecánica	Electricidad
Masa $m$	Inductancia $L$
Amortiguamiento $c$	Resistencia $R$
Rigidez $k$	$1/C$
Posición $x$	Carga $q$

Con

\omega_0 = \sqrt{k/m}

\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}

$\zeta$	Raíces	Comportamiento
$\zeta > 1$	Reales distintas	Sobreamortiguado: vuelve sin oscilar, despacio
$\zeta = 1$	Doble	Amortiguamiento crítico: lo más rápido sin oscilar
$\zeta < 1$	Complejas	Subamortiguado: oscila con amplitud decreciente
$\zeta = 0$	Imaginarias puras	Movimiento armónico simple

Resonancia: sin amortiguamiento y con una fuerza de frecuencia

\omega_0

, la solución particular es

t\operatorname{sen}\omega_0 t

: la amplitud crece sin límite.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1 · Raíces reales distintas

y'' - 5y' + 6y = 0

. Ecuación característica:

r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r = 2, 3

y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}

Ejemplo 2 · Raíz doble con condiciones iniciales

y'' + 4y' + 4y = 0

y(0) = 1

y'(0) = 0

r^2 + 4r + 4 = (r + 2)^2 \Rightarrow r = -2

doble.

y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}

y(0) = C_1 = 1

y' = (C_2 - 2C_1 - 2C_2x)e^{-2x}

y'(0) = C_2 - 2 = 0 \Rightarrow C_2 = 2

y = (1 + 2x)\,e^{-2x}

Ejemplo 3 · Raíces complejas

y'' + 2y' + 5y = 0

r = \frac{-2 \pm\sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2i

y = e^{-x}(C_1\cos 2x + C_2\operatorname{sen} 2x)

: oscila con frecuencia 2 y se amortigua.

Ejemplo 4 · Coeficientes indeterminados con polinomio

y'' - 3y' + 2y = 4x

. Homogénea:

r = 1, 2

y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}

.Se prueba

y_p = Ax + B

0 - 3A + 2(Ax + B) = 4x \Rightarrow 2A = 4

-3A + 2B = 0

A = 2

B = 3

. Solución:

y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + 2x + 3

Ejemplo 5 · Exponencial que ya es solución

y'' - y = e^x

. Homogénea:

r = \pm1

y_h = C_1e^x + C_2e^{-x}

. Probar

Ae^x

no sirve (es solución de la homogénea).Se prueba

y_p = Axe^x

y_p'' = A(x + 2)e^x

. Sustituyendo:

A(x+2)e^x - Axe^x = 2Ae^x = e^x \Rightarrow A = \frac12

y = C_1e^x + C_2e^{-x} + \frac{x}{2}e^x

Ejemplo 6 · Oscilador forzado

x'' + 4x = 3\cos t

. Homogénea:

\omega_0 = 2

. Se prueba

x_p = A\cos t + B\operatorname{sen} t

-A\cos t - B\operatorname{sen} t + 4A\cos t + 4B\operatorname{sen} t = 3\cos t \Rightarrow A = 1

B = 0

x = C_1\cos 2t + C_2\operatorname{sen} 2t + \cos t

.Si la fuerza fuera

3\cos 2t

(resonancia), habría que probar

t(A\cos 2t + B\operatorname{sen} 2t)

, y saldría

x_p = \frac34 t\operatorname{sen} 2t

, que crece sin límite.

Ejemplo 7 · Variación de parámetros

y'' + y = \tan x

y_1 = \cos x

y_2 = \operatorname{sen} x

W = 1

y_p = -\cos x\int\operatorname{sen} x\tan x\,dx + \operatorname{sen} x\int\cos x\tan x\,dx

\int\operatorname{sen} x\tan x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| - \operatorname{sen} x

\int\operatorname{sen} x\,dx = -\cos x

y_p = -\cos x\,\ln|\sec x + \tan x|

Errores frecuentes

Aplicar las condiciones iniciales solo a $y_h$ . Se aplican a la solución completa $y_h + y_p$ .
Olvidar multiplicar por $x$ cuando la solución particular propuesta ya es solución de la homogénea.
Probar solo $A\cos\omega x$ cuando $f$ es un coseno: hay que poner también el seno.
Confundir $\alpha$ y $\beta$ en las raíces complejas: la parte real va en la exponencial y la imaginaria, dentro del seno y el coseno.

Preguntas frecuentes

¿Y si los coeficientes no son constantes?

No hay un método general. Algunos tipos tienen solución (ecuación de Euler-Cauchy,

x^2y'' + bxy' + cy = 0

, con

y = x^r

), y otros se resuelven con series de potencias, como las ecuaciones de Bessel y Legendre. Si no, métodos numéricos.

¿Por qué se rompió el puente de Tacoma?

Se suele poner como ejemplo de resonancia, pero fue algo más complejo: un fenómeno aeroelástico (flutter) en el que el viento y la torsión del tablero se realimentaban. La resonancia “de libro” sí explica por qué los soldados rompen el paso al cruzar un puente y por qué los rascacielos llevan amortiguadores de masa.

¿Se puede resolver con Laplace?

Sí, y es muy cómodo con condiciones iniciales y fuerzas discontinuas. Lo explica el tema de la transformada de Laplace.

Temas relacionados